運動磁場中的力與能量問題探討

王維國

(海安高級中學(xué) 江蘇 海安 226600)

電磁感應(yīng)是中學(xué)物理的主干知識，其綜合性強，與運動學(xué)、動力學(xué)、能量、電場、電路和磁場等知識的聯(lián)系緊密．電磁感應(yīng)對學(xué)生的能力要求較高，自然就成為高考的必考內(nèi)容，而且往往以壓卷題的形式出現(xiàn)，其中力與能量問題是考查的重點．導(dǎo)軌類的電磁感應(yīng)高考題中的磁場大多是靜止的，但近年來多次出現(xiàn)了磁場本身運動的問題，如2007年高考上海卷第23題、2007年高考重慶卷理科綜合第23題和2008年高考天津卷理科綜合第25題.其中上海卷試題如下.

【題目】如圖1(a)所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上．導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計，且接觸良好．在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B．開始時，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右端.當磁場以速度u勻速向右移動時，導(dǎo)體棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度，此時導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi)．

圖1

(1)求導(dǎo)體棒所達到的恒定速度v1；

(2)為使導(dǎo)體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？

(3)導(dǎo)體棒以恒定速度運動時，單位時間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

(4)若t=0時，磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動.經(jīng)過較短時間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運動，其v-t關(guān)系如圖1(b)所示.已知在時刻t導(dǎo)體棒的瞬時速度大小為vt.求導(dǎo)體棒做勻加速直線運動時的加速度大小．

1 問題的提出

在上題中，磁場向右運動，使回路中的磁通量減小，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢．與在靜止的磁場里相比，自由電子的受力情況有什么不同？電動勢產(chǎn)生的機理有什么不同？ “克服安培力做的功等于產(chǎn)生的電能”這個常用的結(jié)論還適用嗎？有許多容易混淆的問題需要辨析清楚．要弄清這些問題，必須從電磁感應(yīng)現(xiàn)象的微觀機理入手，從帶電粒子的受力入手.下面先辨析有關(guān)洛倫茲力的概念，然后討論與運動磁場相關(guān)的一些力和能量的問題．

2 兩種認為洛倫茲力能做功的錯誤認識

在中學(xué)物理中，把運動電荷所受的磁場力稱為洛倫茲力，其矢量式為f=qv×B.一般只考慮電荷的運動速度與磁場方向垂直的情況，所以f=qvB.洛倫茲力只改變電荷速度v的方向，而不改變其大小，對運動電荷一定不做功．但一些學(xué)生因概念混淆，對洛倫茲力不做功的結(jié)論不能信服，甚至提出了“反例”.下面分析其中兩種典型錯誤．

2.1 誤認為安培力做功洛倫茲力就做功

安培力是磁場對通電導(dǎo)線的作用力，而導(dǎo)線中的電流是由大量自由電子的定向移動形成的.因此，通常說安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，洛倫茲力是安培力的微觀本質(zhì)．

如圖2所示，自由電子在洛倫茲力的作用下，形成側(cè)向運動，結(jié)果是使電子積累在導(dǎo)體的左側(cè)形成負電荷層，而導(dǎo)體的右側(cè)形成正電荷層，于是在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生側(cè)向的霍爾電場．自由電子所受的霍爾電場的電場力與洛倫茲力方向相反.當兩種力大小相等時，自由電子便不再側(cè)向漂移，而沿導(dǎo)線方向定向移動．設(shè)導(dǎo)線長L，截面積為S，單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，自由電子定向移動的速度為v，則導(dǎo)線所含自由電子數(shù)為N=nSL；自由電子所受的洛倫茲力f=evB，N個自由電子所受洛倫茲力的合力F=SLnevB.又據(jù)電流的微觀表達式I=neSv，得F=ILB．因此，當導(dǎo)線不動時，自由電子所受的洛倫茲力的總和，即在宏觀上表現(xiàn)為通電導(dǎo)線所受到的安培力．

圖2

當通電導(dǎo)線運動時，安培力會對導(dǎo)線做功，這能否說明此時洛倫茲力也做了功呢？

圖3

圖4 圖5

在導(dǎo)體棒移動的情況下，微觀看單個自由電子所受洛倫茲力的平行棒方向的分力f1=ev1B做正功，f1方向上的速度為v2，其功率P1=f1v2=ev1Bv2.洛倫茲力的垂直于棒方向的分力f2=ev2B做負功，f2反方向上的速度為v1，其功率P2=-f2v1=-ev2Bv1.洛倫茲力的兩分力做功功率的代數(shù)和為零．另一方面，單個自由電子所受的洛倫茲力方向仍然與其定向移動的合速度方向垂直，洛倫茲力不做功．

在導(dǎo)體棒移動的情況下，宏觀看安培力對棒做負功，安培力的功率為P安=-ILBv1，而非靜電力做功的功率P非=F非v2=Nev1Bv2=nSLev1Bv2.又由I=neSv2，得P非=ILBv1.因此棒中所有自由電子所受洛倫茲力在宏觀上的兩個分量——安培力與非靜電力做功的和也為零．非靜電力做的功等于回路中產(chǎn)生的電能，而克服安培力做的功等于非靜電力做功，也等于回路中產(chǎn)生的電能，這個常用的結(jié)論在恒定磁場靜止的情況下是成立的．

2．2 誤認為在運動磁場中洛倫茲力能做功

曾有學(xué)生提出：在靜止的磁場中洛倫茲力不做功，但在運動磁場中洛倫茲力能做功．他提出一個模型，認為能推翻洛倫茲力一定不做功的結(jié)論．

圖6

如圖6所示，在以速度u向右勻速運動的磁場中，有一電子由靜止釋放．此時電子相對磁場向左運動，受到大小為euB、方向向上的洛倫茲力作用．電子在洛倫茲力作用下由靜止開始運動，因此洛倫茲力一定做功．

要弄清這個問題的本質(zhì)，必須用電動力學(xué)的相關(guān)規(guī)律進行分析．由電動力學(xué)的基本方程式可知，帶點粒子在電磁場中運動時，所受的作用力

F=qE+qv×B

這個公式被稱為洛倫茲力公式.它包括兩部分：一部分是電場力qE(E包括電荷激發(fā)的庫侖電場和變化磁場激發(fā)的渦旋電場)，另一部分是磁場力qv×B(即中學(xué)階段所認為的洛倫茲力)．公式中除q是不變量外，F(xiàn)、v、E和B都是相對量，是隨參考系變化的，v是相對于觀察者的速度，E和B也是相對于觀察者而言的．在應(yīng)用這個公式時，首先要明確在哪個參考系中；在不同慣性參考系中，v、E和B是不同的，必須先變換，再代入公式．在該同學(xué)提出的問題中，涉及到兩個慣性參考系：一是地面參考系，記作S′，另一個是相對于S′以速度u向右勻速運動的參考系S，在這個參考系中看，磁場是靜止的，但不能把它稱為磁場參考系，因為在物理學(xué)中，場是不能作參考系的，這是場與實物的重要區(qū)別之一.可以把它看作是與產(chǎn)生磁場的通電螺線管固接的；以下提到的參考系S和S′均依此規(guī)定．該同學(xué)認為在上述情況下，電子相對磁場向左運動，公式中速度是電子相對磁場的速度，因而受到的洛倫茲力大小為euB．但事實上，理論和實驗都已證明，洛倫茲力公式中的速度是相對于觀察者的，而不是相對于磁場的．洛倫茲力公式中速度的參考系選取錯誤是這種錯誤認識的根源．

在參考系S中只有純磁場(E=0，B≠0)，電子向左運動的速度為-u，其受到電磁場的作用力為

F=-e(-u)×B

地面參考系S′以速度-u相對參考系S勻速運動，則在參考系S′中，不僅有磁場，還應(yīng)當有電場(E′≠0，B′≠0)，根據(jù)電磁場理論有

E′=γ(-u)×B

其中γ為洛倫茲變換膨脹因子

在地面參考系S′中，電子受到電磁場的作用力為

F′=-eE′+(-e)v×B′

在上述問題中，電子相對地面參考系S′的瞬時速度為零(v=0)，所以此時在地面參考系S′中，電子不受洛倫茲力,則

F′=-eE′=-eγ(-u)×B=γF

因為磁場移動的速度u?c，則γ≈1，可以認為F′=F,即在參考系S和參考系S′中，電子受到電磁場的作用力大小和方向是相同的．在參考系S中，電子以大小為u的速度向左運動，受到的洛倫茲力大小為euB．在地面參考系S′中，因磁場的勻速運動而產(chǎn)生感生電場，電子相對地面參考系S′的速度為零，雖然不受洛倫茲力，但受到感生電場的電場力qE，這個力大小約等于參考系S中電子受的洛倫茲力 ．在地面參考系S′中，看似是“洛倫茲力做功”，本質(zhì)上是感生電場對電子的電場力做了功．

3 在運動磁場中的力與能量問題分析

在2007年高考上海卷第23題中，磁場以速度u向右勻速運動，在周圍產(chǎn)生感生電場.因此導(dǎo)體中的自由電子的受力情況與導(dǎo)體在靜止的磁場中發(fā)生變化，功能關(guān)系也出現(xiàn)了新特點.下面就這兩個問題作具體分析．

3.1 運動磁場中的受力問題

當磁場以速度u向右勻速運動時，回路中的磁通量減小，產(chǎn)生順時針方向的感應(yīng)電流，使導(dǎo)體棒在安培力作用下向右加速．設(shè)某時刻棒的速度為v1，自由電子沿棒以速度v2定向移動．

在參考系S中看，棒中的自由電子一邊以大小為u-v1的速度向左運動,一邊沿棒以速度v2定向移動．與此相對應(yīng)，自由電子受到洛倫茲力的兩個分量大小分別為fx=ev2B和fy=e(u-v1)B,如圖7所示．

圖7

在地面參考系S′中看，棒中的自由電子一邊以速度v1向右運動,一邊沿棒以速度v2定向移動,與此相對應(yīng)，自由電子受到洛倫茲力的兩個分量大小分別為fx′=ev2B′和fy1′=ev1B′ .另一方面，磁場向右勻速運動，在周圍會產(chǎn)生感生電場，感應(yīng)電場的電場強度E′=γ(-u)×B，感生電場對自由電子的電場力沿y方向，大小fy2′=eE′=euB′，如圖8所示．由此可以推斷,在地面參考系S′中，自由電子在y方向受到的合力大小fy′=fy2′-fy1′=e(u-v1)B′.因為u?c，γ≈1，B′=γB≈B，可認為，fx′=fx，fy′=fy，即F′=F，在兩個參考系中自由電子受到的合力大小幾乎相同．

圖8

3.2 運動磁場中的感應(yīng)電動勢的來源

在地面參考系S′中，磁場勻速運動時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的非靜電力由洛倫茲力沿棒的分量fy1′=ev1B′和感生電場的電場力fy2′=euB′共同提供；產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢中，既有動生電動勢，又有感生電動勢．由電動勢的定義得

其中的B′Lu是感生電動勢，B′Lv1是動生電動勢.因兩者方向相反，總的感應(yīng)電動勢大小等于這兩者的差．在參考系S中，導(dǎo)體棒向左切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢，ε=BL(u-v1)，式中(u-v1)為參考系S中棒切割磁感線的速度.因為B′=γB≈B，所以ε′≈ε．而在地面參考系S′中，感應(yīng)電動勢ε=B′Lu-B′Lv=B′L(u-v1).不少人將此式中的(u-v1)看成是相對磁場切割的速度，如在2007年高考上海卷第23題的參考答案中，感應(yīng)電動勢就是這樣計算的；其形式雖然與動生電動勢相同，但產(chǎn)生機理有所不同．

以相對論的觀點分析，因為運動的相對性，所以感生電動勢和動生電動勢也具有相對性．感應(yīng)電動勢究竟是感生電動勢還是動生電動勢，是與參考系的選擇有關(guān)，通過坐標變換兩者可以相互轉(zhuǎn)化．

3．3 運動磁場中的功與能的問題分析

非靜電力的功率等于回路中電功率．在這種情況下，安培力是導(dǎo)體棒運動的動力，它阻礙回路中的磁通量的變化，安培力做的正功，與回路中消耗的電功無關(guān)；“克服安培力做的功等于回路中產(chǎn)生的電能”的說法是不成立的．安培力和非靜電力做功功率的和，表示回路中能量增加的快慢，其值為P=ILB′u.從這個表達式可以看出，它等于安培力與磁場運動速度的乘積．

回路中增加的能量究竟由誰提供？根據(jù)牛頓第三定律，導(dǎo)體棒在受到安培力時，也會對產(chǎn)生磁場的通電線圈有反作用力，要維持磁場以速度u勻速移動，就必須對通電線圈施加大小為ILB′的外力，這個外力的功率正是ILB′u．通過這個外力對通電線圈做功，把外界的能量通過電磁場轉(zhuǎn)移給回路，這就是回路中增加能量的來源．

4 結(jié)論

綜上所述，與在靜止磁場中相比，運動磁場中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象的力和能量問題，均呈現(xiàn)了不同的特點．在地面參考系S′中，磁場勻速運動產(chǎn)生了感應(yīng)電場，棒中的自由電子受到的電場力與洛倫茲力沿棒的分量提供非靜電力，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢中，既有感生電動勢，又有動生電動勢．洛倫茲力一定不做功.洛倫茲力垂直導(dǎo)體棒的分量的總和是安培力.克服安培力做的功不等于回路中產(chǎn)生的電能.回路中增加的能量來源于維持磁場勻速移動時外界提供的能量．

1 闞仲元．電動力學(xué)教程．北京：高等教育出版社，1979

2 封小超．再論洛倫茲關(guān)系的協(xié)變性及其速度的含義．大學(xué)物理，1987(8)

3 陳雅．關(guān)于洛倫茲力的三點討論．物理教師，2010(2)