電磁感應(yīng)綜合問題的典例剖析

張轉(zhuǎn)利 李艷軍

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006) (江陰華士高級中學(xué) 江蘇 江陰 214421 )

“電磁感應(yīng)”在高中物理中有著舉足輕重的地位，在歷年的高考試題中屢屢出現(xiàn)；除了對楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、感應(yīng)電流的產(chǎn)生條件等一些基礎(chǔ)知識點(diǎn)采用選擇題或填空題的方式進(jìn)行考查外，在計(jì)算題中將電磁感應(yīng)與動力學(xué)、能量、恒定電流等知識綜合的考查，也是歷年來考查學(xué)生對電磁感應(yīng)有關(guān)知識掌握情況的主要方式．由于與其他知識進(jìn)行了綜合，故試題難度也會有所增大，往往成了學(xué)生高考物理取得優(yōu)異成績的障礙．本文主要對高考中關(guān)于電磁感應(yīng)與其他知識綜合后的主要題型加以剖析，以提高在高考復(fù)習(xí)時的針對性，增強(qiáng)對有關(guān)問題分析和求解的效率．

1 電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題剖析

當(dāng)發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象時，如果構(gòu)成閉合回路，則導(dǎo)體棒中就會有感應(yīng)電流產(chǎn)生，感應(yīng)電流在磁場中將會受到安培力的作用，從而對物體的運(yùn)動造成影響．所以可以將電磁感應(yīng)與靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)等知識聯(lián)系在一起進(jìn)行考查；這也是高考中出現(xiàn)較多的題目．

對于此類問題，解題的關(guān)鍵是能對研究對象進(jìn)行正確的受力分析，并明確其運(yùn)動狀態(tài)和受力之間的關(guān)系，從而根據(jù)牛頓運(yùn)動定律或平衡條件求解．

圖1

【例1】(2004年高考北京試題)如圖1所示，兩根足夠長的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L，M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直斜面向下，導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，不計(jì)它們之間的摩擦．

(1)由b向a方向看到的裝置如圖2所示，請?jiān)诖藞D中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；

(2)在加速下滑過程中，當(dāng)ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大小；

(3)求在下滑過程中，ab桿可以達(dá)到的速度最大值．

圖2

解析：(1)重力mg豎直向下，支撐力N垂直斜面向上，安培力F沿斜面向上

(2)當(dāng)ab桿速度為v時，感應(yīng)電動勢E=BLv,此時電路電流

ab桿受到安培力

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，有

ma=mgsinθ-F=

2 電磁感應(yīng)中能量問題的剖析

電磁感應(yīng)的過程總是伴隨著能量的轉(zhuǎn)化.導(dǎo)體棒切割磁感線或磁通量發(fā)生變化，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流；機(jī)械能或其他形式能轉(zhuǎn)化為電能.感應(yīng)電流做功，又可以使電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能或內(nèi)能等．在分析此類問題時，應(yīng)牢牢抓住能量守恒定律，分析清楚哪些力做了功，從而知道是哪些形式的能量之間發(fā)生了相互轉(zhuǎn)化；然后借助動能定理、能量守恒定律、功能關(guān)系等知識求解．

【例2】(2004年全國高考試題)圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里．導(dǎo)軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2．x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為m1和m2，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸．兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R．F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力．已知兩桿運(yùn)動到圖示位置時，已勻速向上運(yùn)動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率．

圖3

解析：設(shè)桿向上運(yùn)動的速度為v.因桿的運(yùn)動，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少．由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，回路中的感應(yīng)電動勢的大小為

ε=B(l2-l1)v

(1)

回路中的電流

(2)

電流沿順時針方向．兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為

f1=Bl1I

(3)

方向向上，作用于桿x2y2的安培力為

f2=Bl2I

(4)

方向向下．當(dāng)桿做勻速運(yùn)動時，根據(jù)牛頓第二定律有

F-m1g-m2g+f1-f2=0

(5)

解以上各式，得

(6)

(7)

作用于兩桿的重力的功率的大小

P=(m1+m2)gv

(8)

電阻上的熱功率

Q=I2R

(9)

由式(6)、(7)、(8)、(9)，可得

3 電磁感應(yīng)與恒定電流綜合問題的剖析

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，切割磁感線的部分導(dǎo)體或磁通量發(fā)生變化的回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，則該部分導(dǎo)體或回路就相當(dāng)于電源.因此，可以將電磁感應(yīng)與恒定電流的有關(guān)知識綜合起來考查．解決此類問題的基本思路如下.

首先找出相當(dāng)于電源的部分導(dǎo)體或回路；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律確定感應(yīng)電動勢的大小和方向.然后畫出等效電路圖；此時要注意產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的部分導(dǎo)體或回路相當(dāng)于電源，要能根據(jù)電源內(nèi)外電流的特點(diǎn)明確等效電源的正負(fù)極，分清內(nèi)外電路.最后根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)，運(yùn)用閉合電路歐姆定律、電功率等知識分析求解．

【例3】(2005年高考江蘇試題)如圖4所示，水平面上有兩根相距0.5 m的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ，它們的電阻可忽略不計(jì)，在M和P之間接有阻值為R的定值電阻，導(dǎo)體棒ab長l=0.5 m，其電阻為r，與導(dǎo)軌接觸良好.整個裝置處于方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4 T.現(xiàn)使ab以v=10 m/s的速度向右做勻速運(yùn)動.

圖4

(1)ab中的感應(yīng)電動勢多大?

(2)ab中電流的方向如何?

(3)若定值電阻R=3.0 Ω,導(dǎo)體棒的電阻r=1.0 Ω，則電路電流多大?

解析：(1)ab中的感應(yīng)電動勢為

E=Blv

代入數(shù)據(jù)得

E=2.0 V

(2)根據(jù)左手定則，可判定導(dǎo)體棒ab中電流方向?yàn)閎→a.

(3)由閉合電路歐姆定律，回路中的電流

代入數(shù)據(jù)得

I=0.5 A

4 電磁感應(yīng)與現(xiàn)代科技的綜合問題剖析

電磁感應(yīng)及其規(guī)律廣泛地應(yīng)用于生活、生產(chǎn)和科技領(lǐng)域，如電磁流量計(jì)、磁懸浮列車等．這類題目不會很難，多以信息題的形式出現(xiàn).在考查學(xué)生對信息提煉能力的同時，主要考查學(xué)生深入分析物理過程、準(zhǔn)確理解物理概念、靈活運(yùn)用物理規(guī)律的能力.這也是新課標(biāo)高考的特點(diǎn)之一．

從考查知識的角度講，這類問題往往將電路、動力學(xué)、能量守恒等多個知識點(diǎn)加以整合，求解的關(guān)鍵是把實(shí)際問題模型化，再利用所學(xué)的物理知識求解．

圖5

【例4】(2008年高考天津試題)磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具，它的驅(qū)動系統(tǒng)簡化為如下模型：固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長邊MN長為l，平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖5所示．列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ，最大值為B0，如圖6所示.金屬框同一長邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，整個磁場以速度v0沿Ox方向勻速平移．設(shè)在短暫時間內(nèi)，MN、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化可以忽略，并忽略一切阻力，列車在驅(qū)動系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛，某時刻速度為v(v

圖6

(1)簡要敘述列車運(yùn)行中獲得驅(qū)動力的原理；

(2)為使列車獲得最大驅(qū)動力，寫出MN、PQ邊應(yīng)處于磁場中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿足的關(guān)系式；

(3)計(jì)算在滿足第(2)問的條件下列車速度為v時驅(qū)動力的大小．

解析：(1)由于列車速度與磁場平移速度不同，導(dǎo)致穿過金屬框的磁通量發(fā)生變化.由于電磁感應(yīng)，金屬框中會產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的安培力即為驅(qū)動力．

(3)由于滿足第(2)問條件，則MN、PQ邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B0且方向總相反.經(jīng)短暫的時間Δt，磁場沿Ox方向平移的距離為v0Δt，同時，金屬框沿Ox方向移動的距離為vΔt．

因?yàn)関0>v，所以在Δt時間內(nèi)MN邊掃過磁場的面積為

S=(v0-v)lΔt

在此Δt時間內(nèi)，MN邊左側(cè)的磁通移進(jìn)金屬框而引起框內(nèi)磁通量變化為

ΔΦMN=B0l(v0-v)Δt

同理，該Δt時間內(nèi)，PQ邊左側(cè)移出金屬框的磁通引起框內(nèi)磁通量變化為

ΔΦPQ=B0l(v0-v)Δt

故在Δt內(nèi)金屬框所圍面積的磁通量變化為

ΔΦ=ΔΦPQ+ΔΦMN

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬框中的感應(yīng)電動勢大小

根據(jù)閉合電路歐姆定律，有

根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力

FMN=B0Il

PQ邊所受的安培力

FPQ=B0Il

根據(jù)左手定則，MN、PQ邊所受的安培力方向相同，此時列車驅(qū)動力的大小為

F=FMN+FPQ=2B0Il

聯(lián)立以上各式解得

5 電磁感應(yīng)的圖像問題剖析

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中常常涉及磁感應(yīng)強(qiáng)度B、磁通量Φ、感應(yīng)電動勢E和感應(yīng)電流I隨時間變化的圖像，即B-t圖像、Φ-t圖像、E-t圖像和I-t圖像.對于部分導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流的情況，有時還涉及到感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流隨線框位移變化的圖像，即E-x圖像、I-x圖像．

根據(jù)不同的形式，圖像問題大體上可以分為兩類：第一類是由有關(guān)的物理過程和物理量變化的情況根據(jù)題目要求作出圖像；第二類是對給出的圖像進(jìn)行分析，確立相應(yīng)的電磁感應(yīng)過程，求解相應(yīng)的物理量，解決有關(guān)問題．但不管是哪一類問題，基本都是根據(jù)右手定則、楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律等分析求解；同時要特別注意各個物理量的方向與圖像中數(shù)據(jù)正負(fù)的對應(yīng)關(guān)系．

【例5】(2008年高考廣東試題)如圖7，水平放置的兩根平行金屬導(dǎo)軌，間距L=0.3 m．導(dǎo)軌左端連接R=0.6 Ω的電阻，區(qū)域abcd內(nèi)存在垂直于導(dǎo)軌平面B=0.6 T的勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域?qū)扗=0.2 m．細(xì)金屬棒A1和A2用長為2D=0.4 m的輕質(zhì)絕緣桿連接，放置在導(dǎo)軌平面上，并與導(dǎo)軌垂直，每根金屬棒在導(dǎo)軌間的電阻均為r=0.3 Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，使金屬棒以恒定速度v=1.0 m/s沿導(dǎo)軌向右穿越磁場，計(jì)算從金屬棒A1進(jìn)入磁場(t=0)到A2離開磁場的時間內(nèi)，不同時間段通過電阻R的電流強(qiáng)度，并在圖8中畫出．

圖7

圖8

解析：A1進(jìn)入磁場，0～t1(0～0.2 s)，A1產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

E=BDv=0.6×0.3×1.0 V=0.18 V

電阻R與A2并聯(lián)阻值為

所以電阻R兩端電壓為

通過電阻R的電流為

A1離開磁場，而A2未進(jìn)入磁場

t1～t2(0.2～0.4 s)

E=0I2=0

A2進(jìn)入磁場到離開磁場

t2～t3(0.4～0.6 s)

同理

I3=0.12 A

根據(jù)以上計(jì)算，不同時間段通過電阻R的電流強(qiáng)度如圖8所示．

以上是對電磁感應(yīng)有關(guān)知識進(jìn)行考查時經(jīng)常出現(xiàn)的綜合類問題，筆者就其特點(diǎn)和求解思路作了簡要的概述，以求增強(qiáng)對各部分知識綜合運(yùn)用的重視，提高解決物理綜合問題的能力．