用光電門測直線運(yùn)動瞬時速度的誤差分析

馬馳

(上虞中學(xué) 浙江 上虞 312300)

1 引言

中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量物體瞬時速度的儀器主要有打點(diǎn)計(jì)時器和光電門(包括數(shù)字計(jì)時器,又稱數(shù)字毫秒計(jì))兩種；其原理都是用某一段過程的平均速度近似代替某一時刻(或位置)的瞬時速度．打點(diǎn)計(jì)時器是用某一段時間內(nèi)的平均速度來近似代替某一時刻的瞬時速度，而光電門是用某一段位移內(nèi)的平均速度來近似代替某一位置的瞬時速度．

光電門的作用是借助于光源和光敏管，光源與光敏管相對，它射出的光使光敏管感光．當(dāng)物體經(jīng)過擋光孔時，光電門開始計(jì)時；當(dāng)物體離開擋光孔時，光電門停止計(jì)時．若已知運(yùn)動物體的擋光長度為Δx，數(shù)字計(jì)時器記錄下該物體的擋光時間為Δt，即可以得出物體在擋光過程中的平均速度

求物體的瞬時速度v，就是求平均速度在Δt→0時的極限值，即

2 光電門測得勻變速直線運(yùn)動的瞬時速度的誤差分析

做勻變速直線運(yùn)動的長方體物塊，其長度為Δx，從左向右經(jīng)過光電門的示意圖如圖1所示．

圖1

2.1 測量速度v測量與實(shí)際速度v實(shí)際

在A位置，物塊右端經(jīng)過擋光孔，擋光開始，數(shù)字計(jì)時器開始計(jì)時.在B位置，物塊質(zhì)心正經(jīng)過擋光孔，此時長方體物塊的速度就是經(jīng)過光電門所在位置時的實(shí)際瞬時速度，記作v實(shí)際.在C位置，物塊左端經(jīng)過擋光孔，擋光結(jié)束，數(shù)字計(jì)時器停止計(jì)時.設(shè)數(shù)字計(jì)時器讀數(shù)為Δt，根據(jù)光電門的工作原理，長方體物塊在經(jīng)過光電門所在位置時速度的測量值為

2.2 利用勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律分析的誤差

v實(shí)際就是物體由A位置運(yùn)動到B位置過程中，物塊的末速度或者由B位置運(yùn)動到C位置的初速度.設(shè)在A位置物塊速度為vA，在C位置物塊速度為vC，加速度為a，由A到B

(1)

由B到C

(2)

v測量就是物體由A運(yùn)動到C過程的平均速度，等于由A運(yùn)動到C過程時間中點(diǎn)的瞬時速度．

(3)

則v測量2-v實(shí)際2=

所以

v測量

2.3 利用運(yùn)動方程分析v測量的誤差

物塊做勻變速直線運(yùn)動的運(yùn)動方程為

(4)

v=v0+at

(5)

由式(4)、(5)消去t

(6)

設(shè)物塊在A、C兩位置對應(yīng)的時刻為

有

(7)

由式(4)、(5)、(7)得

(8)

物塊在A、C兩位置時對應(yīng)的xt為

(9)

由式(4)、(5)、(9)得

代入式(8)，結(jié)合式(6)，得

(10)

由(10)式可以看出，當(dāng)Δt≠0時，v測量

2.4 利用圖像分析的誤差

物塊在做勻加速直線運(yùn)動和勻減速直線運(yùn)動的v-t圖像分別如圖2、圖3所示．A、C之間的時間間隔為Δt，O是AC的時間中點(diǎn)，ABED所圍面積等于BCFE所圍面積．

圖2 圖3

由v-t圖像的物理意義可知，光電門的v測量就是物體由A運(yùn)動到C過程的平均速度，等于由A運(yùn)動到C過程時間中點(diǎn)的瞬時速度

v實(shí)際就是物體由A運(yùn)動到C過程中位移中點(diǎn)B的瞬時速度

v實(shí)際=vB

由圖像可得

vO

所以，得

v測量

3 光電門測得彈簧振子運(yùn)動的瞬時速度的誤差分析

設(shè)彈簧振子作簡諧運(yùn)動，初始時刻振子在左側(cè)最大位移處.向右到平衡位置的過程中經(jīng)過光電門的示意圖如圖4所示．

圖4

3.1 利用運(yùn)動方程分析的誤差

取向左為正方向，運(yùn)動方程可表示為

x=Acosωt

(11)

v=-ωAsinωt

(12)

由式(11)、(12)可得振子在某位置x處，x與v的關(guān)系為

(13)

設(shè)振子在A、C兩位置對應(yīng)的時刻為

因而有

(14)

振子質(zhì)心在擋光孔處，即位置A、C處對應(yīng)的xt為

(15)

將式(11)代入式(14)、(15)，消去t，并結(jié)合式(13)可得

(16)

由(16)式可以看出，當(dāng)Δt≠0時，v測量

3.2 利用v-t圖像分析v測量的誤差

振子做簡諧運(yùn)動的v-t圖像如圖5．A、C之間的時間間隔為Δt，O是AC的時間中點(diǎn)，O點(diǎn)對應(yīng)的速度稱之為v時中.ABED所圍面積等于BCHE所圍面積，即B是AC的位移中點(diǎn).B點(diǎn)對應(yīng)的速度稱之為v位中．FG是過K點(diǎn)且與v-t圖像相切的直線．

圖5

由圖像可知

v實(shí)際=v位中>v時中

又

且

SACJI=SACGF>SACHD

故

v時中>v測量

所以

v測量

4 結(jié)束語

如果用光電門測勻速直線運(yùn)動的速度，易證明v測量=v實(shí)際．

打點(diǎn)計(jì)時器相對于光電門的可靠性要差一些.但用打點(diǎn)計(jì)時器結(jié)合紙帶測量勻變速直線運(yùn)動的瞬時速度時，只要恰當(dāng)選取包含測量點(diǎn)的一段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，就不會帶來原理上的誤差．實(shí)驗(yàn)中應(yīng)根據(jù)需要選擇適合的儀器．

1 周勇.對光電門測得的瞬時速度的誤差分析.物理實(shí)驗(yàn)， 2009,29(1)：24～26