用光電門測直線運動瞬時速度的誤差分析

馬馳

(上虞中學 浙江 上虞 312300)

1 引言

中學物理實驗中測量物體瞬時速度的儀器主要有打點計時器和光電門(包括數字計時器,又稱數字毫秒計)兩種；其原理都是用某一段過程的平均速度近似代替某一時刻(或位置)的瞬時速度．打點計時器是用某一段時間內的平均速度來近似代替某一時刻的瞬時速度，而光電門是用某一段位移內的平均速度來近似代替某一位置的瞬時速度．

光電門的作用是借助于光源和光敏管，光源與光敏管相對，它射出的光使光敏管感光．當物體經過擋光孔時，光電門開始計時；當物體離開擋光孔時，光電門停止計時．若已知運動物體的擋光長度為Δx，數字計時器記錄下該物體的擋光時間為Δt，即可以得出物體在擋光過程中的平均速度

求物體的瞬時速度v，就是求平均速度在Δt→0時的極限值，即

2 光電門測得勻變速直線運動的瞬時速度的誤差分析

做勻變速直線運動的長方體物塊，其長度為Δx，從左向右經過光電門的示意圖如圖1所示．

圖1

2.1 測量速度v測量與實際速度v實際

在A位置，物塊右端經過擋光孔，擋光開始，數字計時器開始計時.在B位置，物塊質心正經過擋光孔，此時長方體物塊的速度就是經過光電門所在位置時的實際瞬時速度，記作v實際.在C位置，物塊左端經過擋光孔，擋光結束，數字計時器停止計時.設數字計時器讀數為Δt，根據光電門的工作原理，長方體物塊在經過光電門所在位置時速度的測量值為

2.2 利用勻變速直線運動的規律分析的誤差

v實際就是物體由A位置運動到B位置過程中，物塊的末速度或者由B位置運動到C位置的初速度.設在A位置物塊速度為vA，在C位置物塊速度為vC，加速度為a，由A到B

(1)

由B到C

(2)

v測量就是物體由A運動到C過程的平均速度，等于由A運動到C過程時間中點的瞬時速度．

(3)

則v測量2-v實際2=

所以

v測量

2.3 利用運動方程分析v測量的誤差

物塊做勻變速直線運動的運動方程為

(4)

v=v0+at

(5)

由式(4)、(5)消去t

(6)

設物塊在A、C兩位置對應的時刻為

有

(7)

由式(4)、(5)、(7)得

(8)

物塊在A、C兩位置時對應的xt為

(9)

由式(4)、(5)、(9)得

代入式(8)，結合式(6)，得

(10)

由(10)式可以看出，當Δt≠0時，v測量

2.4 利用圖像分析的誤差

物塊在做勻加速直線運動和勻減速直線運動的v-t圖像分別如圖2、圖3所示．A、C之間的時間間隔為Δt，O是AC的時間中點，ABED所圍面積等于BCFE所圍面積．

圖2 圖3

由v-t圖像的物理意義可知，光電門的v測量就是物體由A運動到C過程的平均速度，等于由A運動到C過程時間中點的瞬時速度

v實際就是物體由A運動到C過程中位移中點B的瞬時速度

v實際=vB

由圖像可得

vO

所以，得

v測量

3 光電門測得彈簧振子運動的瞬時速度的誤差分析

設彈簧振子作簡諧運動，初始時刻振子在左側最大位移處.向右到平衡位置的過程中經過光電門的示意圖如圖4所示．

圖4

3.1 利用運動方程分析的誤差

取向左為正方向，運動方程可表示為

x=Acosωt

(11)

v=-ωAsinωt

(12)

由式(11)、(12)可得振子在某位置x處，x與v的關系為

(13)

設振子在A、C兩位置對應的時刻為

因而有

(14)

振子質心在擋光孔處，即位置A、C處對應的xt為

(15)

將式(11)代入式(14)、(15)，消去t，并結合式(13)可得

(16)

由(16)式可以看出，當Δt≠0時，v測量

3.2 利用v-t圖像分析v測量的誤差

振子做簡諧運動的v-t圖像如圖5．A、C之間的時間間隔為Δt，O是AC的時間中點，O點對應的速度稱之為v時中.ABED所圍面積等于BCHE所圍面積，即B是AC的位移中點.B點對應的速度稱之為v位中．FG是過K點且與v-t圖像相切的直線．

圖5

由圖像可知

v實際=v位中>v時中

又

且

SACJI=SACGF>SACHD

故

v時中>v測量

所以

v測量

4 結束語

如果用光電門測勻速直線運動的速度，易證明v測量=v實際．

打點計時器相對于光電門的可靠性要差一些.但用打點計時器結合紙帶測量勻變速直線運動的瞬時速度時，只要恰當選取包含測量點的一段的起點和終點，就不會帶來原理上的誤差．實驗中應根據需要選擇適合的儀器．

1 周勇.對光電門測得的瞬時速度的誤差分析.物理實驗， 2009,29(1)：24～26