例談用數學方法探究物理實驗系統誤差

方軒鋒 黃尚鵬

(監利縣朱河中學 湖北 監利 433325)

1 半偏法測電流表的內阻實驗系統誤差分析

半偏法測電流表的內阻實驗電路原理圖如圖1所示.實驗操作步驟如下.

圖1

(1)開關S1、S2閉合前，將滑動變阻器R1的阻值調到最大．

(2)閉合開關S1，調節滑動變阻器R1，使電流表滿偏．

(3)保持開關S1閉合，滑動變阻器不動，閉合開關S2，調節電阻箱R2的阻值，使電流表半偏．

(4)記下此時電阻箱R2的阻值，則電流表的內阻Rg=R2．

本實驗要求滑動變阻器的阻值遠大于電流表的內阻，即R1?Rg；這樣就可近似認為開關S2閉合前后干路中的總電流是不變的．但事實上，當開關S2閉合后，干路中的總電流是變大的.當電流表半偏時，通過電阻箱R2的電流比通過電流表的電流要大.根據并聯分流規律可知，半偏法測出的電流表的內阻要比電流表的實際內阻小．下面從理論上用數學方法對該實驗的系統誤差進行分析．

假定電源的電動勢為E，內阻為r，電流表的滿偏電流為Ig．

閉合開關S1，調節滑動變阻器R1，使電流表滿偏時，根據閉合電路歐姆定律得

E=Ig(R1+r+Rg)

(1)

閉合開關S2，調節電阻箱R2的阻值，使電流表半偏時，根據閉合電路歐姆定律及并聯分流公式得

(2)

聯立式(1)和(2)，消除E和Ig得

(3)

由式(1)解得

將其代入式(3)得

(4)

由式(3)可知R2

由式(4)可知Rg與R2的相對誤差為

(5)

由式(5)可知，電源的電動勢越大，相對誤差就越小．

結論：用半偏法測電流表的內阻時，測量值比真實值小，為減小實驗誤差，應使滑動變阻器的阻值遠大于電流表的內阻，即R1?Rg.而要做到這一點，必須使用電動勢較大的電源，而且為了防止電流表過載，必須用大阻值的滑動變阻器與之匹配.可見電源的電動勢的大小對誤差起主導作用．

2 用彈簧振子測彈簧的勁度系數實驗系統誤差分析

圖2

設彈簧質量分布均勻，彈簧處于原長時，彈簧上考察的任一點到彈簧固定端P的距離為l(0≤l≤l0，l0為彈簧的原長)．選水平向右為正方向.當振子偏離平衡位置的位移為x時，設此時振子的速度為v，彈簧上考察點到彈簧固定端P的距離變為l′(l′與l一一對應).顯然與振子固連在一起的彈簧末端到P的距離由l0變為l0+x.根據比例關系

可求得

因此彈簧上考察點偏離原來位置的位移為

(6)

在(6)式兩邊對時間求導，可求得此時彈簧上該點的速度為

下面采用微元分析法運用定積分的知識求出整根彈簧的動能．

圖3

因此整根彈簧的動能

故彈簧振子的動能

由此求出

結論：按照理想彈簧振子的模型測得的彈簧的勁度系數比真實值小，主要原因是彈簧的質量對振動周期的影響.因此為了減小實驗誤差，應使振子的質量遠大于彈簧的質量，即M?m；或測出彈簧的質量m，采用修正后的周期公式進行計算．

1 人民教育出版社物理室編著.全日制普通高級中學教科書(必修加選修)物理第二冊.北京：人民教育出版社，2003.6

2 鄭永令,賈起民.力學.上海：復旦大學出版社，1989.10

3 張大同.高中物理競賽輔導.西安：陜西師范大學出版社，2000.6