巧用圓討論力的合成和分解問題

程柱建

(如皋中學 江蘇 如皋 226500)

力的合成與分解遵循平行四邊形定則或三角形定則，有時巧用圓可以有效地討論有關力的合成和分解的解數、極值、大小和方向等問題．

1 求解數

【例1】如圖1，已知合力F和一個分力F1的方向以及另一個分力F2的大小(F2的大小可根據解題需要自取)，問F可以分解為幾組分力？

分析：以合力F的箭頭為圓心，以分力F2的大小為半徑畫圓.由于分力F1的方向確定，所以這個圓會與F1的作用線不相交、相切或相交三種情況，如圖2．根據三角形定則，F1、F2的交點指向合力，箭頭的有向線段表示分力F2．當F2F時有一組解；當Fsinθ

圖1 圖2

【例2】已知合力F和兩個不平行分力F1、F2的大小.三力的大小的關系滿足

|F1-F2|

問F可以分解為幾組分力？

圖3

分析:如圖3，以F的始端、末端為圓心，分別以F1、F2的大小為半徑畫圓，兩圓有兩個交點，這時，F分解為F1、F2有兩組解．由于兩分力沒有被限制在紙平面內，現以F為轉動軸旋轉，得到兩分力的方向有無數組解．

2 找極值

【例3】 (1)已知合力F和一個分力F1的方向，求另一個分力F2的最小值．

(2)已知合力F的方向和一個分力F1，求另一個分力F2的最小值．

分析:(1)此題情境同例1中圓與F1相切的情況，這時兩分力垂直，F2的最小值等于Fsinθ．

(2)如圖4所示，以分力F1的箭頭為圓心畫與F作用線相切的圓，即F2與F垂直時F2最小，最小值為F1sinθ．

圖4 圖5

【例4】一個物體受到兩個共點力F1、F2的作用，兩個力間的夾角可以變化，其中F1=100 N，F2=200 N．當兩個力的合力F與F2之間的夾角最大時，合力F為多大？

分析:如圖5所示，以F2的箭頭為圓心，F1的大小為半徑畫圓.根據三角形定則，連接F2始端、F1末端的有向線段表示合力F.旋轉F1，改變F1和F2的夾角，動態地觀察合力F與F2之間的夾角變化情況.當F與圓相切時，F與F2之間的夾角最大．此時

3 比大小

【例5】兩個分力F1、F2的大小不變，當夾角從零增大到180°的過程中，求合力F大小的變化．

分析:如圖6，保持F2不變，以F2的箭頭為圓心，以F1的大小為半徑畫圓，隨著兩分力夾角的增大，能清楚地看到合力F大小的變化情況，即θ增大，F減小．

圖6

【例6】若兩個力F1、F2的夾角為α(90°<α<180°)，且α保持不變，則

A.一個力增大，合力一定增大

B.兩個力都增大，合力一定增大

C.兩個力都增大，合力可能減小

D.兩個力都增大，合力的大小可能不變

分析:為了方便比較，以兩力作用點O為圓心，以原合力F的大小為半徑畫圓，從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出：當F1增大到F1′，F2增大到F2′時，合力F的大小可能減小、不變或增大，同理可知一個力增大時合力的變化也存在以上三種可能．

選項C、D正確．

圖7

4 看方向

【例7】橡皮條的一端固定在A點，另一端同時作用兩個力，使橡皮條伸長到O位置，這時兩個力F1、F2與OA夾角分別為α、β，如圖8所示(F1與F2間的夾角為銳角)．現保持F2大小不變，β角減小一些，并仍保持橡皮條伸長到O位置．下列說法中可能發生的是

圖8

A.α減小，F1增大 B.α不變，F1增大

C.α增大，F1增大 D.α增大，F1減小

分析： 根據三力的平衡條件，F1、F2的合力F沿OA延長線的方向，利用平行四邊形定則可以畫出F．三個力中，F2大小不變，合力F的大小、方向不變(因為要保持橡皮條伸長到O位置)．

如圖9，以O點為圓心，以F2的大小為半徑畫圓，初始F2的箭頭與圓交于B點，過B點作初始F1的平行線，與圓交于C點，C點是F1方向變化的臨界點．當F2的箭頭沿圓弧BC左移時，α角比初始值小；F2指向C點時，α角等于初始值；F2的箭頭沿圓弧從C點左移時，α角比初始值大．連接F2箭頭和F箭頭的有向線段表示F1，可以看出在β角減小的過程中F1一直增大．

選項A、B、C正確．

圖9

總之，在力大小不變，方向不確定時，利用圓與平行四邊形定則或三角形定則，往往可以便捷地討論力的合成與分解問題．本文對圓的使用技巧也可以遷移到其他矢量的合成與分解的應用中；如“小船過河”問題中，當v船