“一個看似簡單的問題”不簡單
——對《趣味物理學》中一個問題的分析

吳承瑤

(杭州外國語學校 浙江 杭州 310023)

筆者執教高中的時候，正在研究一個有關液體壓強的問題．忽然，來一位學生把別萊利曼的《趣味物理學(續編)》遞給我，讓我看文中第6.8節“一個看似簡單的問題”．該學生懷疑它的正確性．追憶往事，撰成此文．

1 問題的提出

文獻[1]中原題：您的面前是盛滿30杯水的茶飲．把一個茶杯放在它的水龍頭下面，打開水龍頭，看著您手中的秒表，看用多長時間就能把杯子注滿．假如所用的時間是30 s．請問：打開水龍頭，茶飲里的水要多少時間才能放盡？

別萊利曼給出結論：

(1)流完這個茶飲里的水的時間，并不是您意想的900 s，而是1 800 s．

大家知道，茶飲里的水將要流完時，水流出的速度十分緩慢．用高等數學來解這道題，得到，容器中的水全部流出所需的時間，比同樣體積的水在原來液面高度不變的條件下全部流出所需的時間增加一倍．

2 問題的探究和反思

別萊利曼是位享譽世界的科普作家、趣味科學的奠基人．憑感覺別萊利曼不會錯，但看到學生這么有勇氣挑戰權威，筆者答應好好思考，課后一起研究．

約好來到有兩塊大黑板的實驗室，一同還來了其他好幾位同學，共同見證挑戰權威的成功與否．

大家熟知是托里拆利揭示的公式

其中v為出水速度、g為重力加速度、x為孔洞到水面的高度．

我們用高等數學來處理一個動態過程(在筆者和同學的共同努力下作了如下板演)．

設從時刻t到t+Δt之間流出的水的體積為dV,

則

其中a為出水口截面面積.

若在這段時間內,水位下降dx,并設茶飲水面面積為S，則有關系式

dV=Sdx

由于水往外流，所以x減小，得

整理得

所以

根據初始條件t=0時x=H(H為初始高度)，得

則

(1)

由已知得

(2)

所以當x=0時，總時間

水流盡的總時間為1 784.87 s，確實接近1 800 s，可以說首戰告捷．做到這里，學生高興之極．

另外一個同學看了上面的解答說，我確定別萊利曼的第2個結論也有問題．于是一同繼續討論．

所以接下去注滿一杯所需時間為

則這一杯注滿的時間和第一杯的時間比為

至此，大家長嘆一聲，原來別萊利曼也有粗心的時候．大家驚訝無比，繼而沉浸在解題的快樂之中，挑戰成功．

還有一位同學發現惟獨別萊利曼的“容器中的水全部流出所需的時間，比同樣體積的水在原來液面高度不變的條件下全部流出所需的時間增加一倍”的論斷是正確的．

在原來的液面高度下，出水速度

則所需時間為

筆者意識到如果俄羅斯的茶飲制作很特別，也許就是別萊利曼的答案．查閱了相關資料，果然俄羅斯的茶炊的外形多樣，有球形、桶形、花瓶狀、小酒杯形、罐形,以及一些呈不規則形狀的茶炊；同學已經證明了如果是桶形，別萊利曼的結論不成立．也許茶炊特殊的形狀，決定了出水的速度從而可以保證別萊利曼的結論正確．有同學建議由于制造的差別，我們把滿足別萊利曼的結論的茶飲姑且稱為“別萊利曼茶飲”，師生相視一笑．

學生這種具有不懼權威的挑戰精神和嚴謹的科學精神，也是對教師和專業科普人員的鞭策，時刻提醒我們，在給學生精神食糧的同時更要注重營養價值．

1 (俄)雅科夫·伊西達洛維奇·別萊利曼著.谷羽，趙秋長譯.趣味物理學(續編).武漢:湖北少年兒童出版社,2009.102

2 http://baike.baidu.com/view/1055041.htm?func=retitle(俄羅斯茶飲文化)