淺談“基本不等式”在高中物理解題中的應用

湯云強

(句容市高級中學 江蘇 句容 212400)

1 基本不等式

2 應用

2.1 非完全彈性碰撞

【例1】如圖1所示，光滑水平面上，質量為m的物體A以速度v0與靜止的物體B(質量也為m)發生對心碰撞.討論：若為非完全彈性碰撞(動量守恒、動能有損失)，求AB后來的運動狀態,及系統動能損失情況．

圖1

分析：根據完全非彈性碰撞的定義，設A、B后來的速度分別為vA、vB，取v0方向為正方向，可得

(1)

(2)

將(1)式代入(2)可知

|ΔEk|=mvAvB

利用基本不等式(1)可得

2.2 等量同號電荷中垂線上電場強度極值

【例2】如圖2所示，真空中有兩等量同號正電荷Q，間距為L．討論中垂線上的電場強度極值．

圖2

分析：取中垂線上某點M,與兩電荷連線夾角均為θ，由平行四邊形定則可得，M點場強

令f(θ)=sinθcos2θ，得

2f2(θ)=2sin2θcos4θ=

(2sin2θ)(cos2θ)(cos2θ)

利用基本不等式(2)可得

(2sin2θ)(cos2θ)(cos2θ)≤

即當2sin2θ=cos2θ時

f(θ)有最大值

2.3 連接體的速度極值

【例3】如圖3所示，滑塊A、B質量均為m.A套在固定豎直桿上，A、B通過轉軸用長度為L的剛性輕桿連接，B放在水平面上并靠著豎直桿．A、B均靜止．由于微小擾動，B開始沿水平面向右運動．不計一切摩擦，A、B可視為質點，求在A下滑過程中B的最大速度．

圖3

分析：設A下降至圖4所示位置時，B達最大速度vBm，此時桿與水平方向夾角為θ．由A、B系統機械能守恒，結合連接體牽連速度的計算可知

圖4

可得

令f(θ)=2(1-sinθ)sin2θ=

(2-2sinθ)(sinθ)(sinθ)

利用基本不等式(2)可得

(2-2sinθ)(sinθ)(sinθ)≤

3 總結

在中學物理教學中，加強對學生進行數學方法的教育，不僅可以加深學生對物理學的基本概念、基本理論的理解，而且可以提高學生對自然規律的正確認識，培養學生的創新精神和實踐能力．