彈簧振子勢能問題的探討

馮蒙麗 宋春榮 劉協權

(石家莊軍械工程學院基礎部 河北 石家莊 050003)

在大學物理中，以能量守恒和轉換的觀點去研究具體運動形式所遵循的規律是物理學基本的研究方法[1]．而對于重要的運動基本形式之一——簡諧振動,有的教材未對其能量作充分的討論[2]．

在講解彈簧振子能量時，由于某些教材及教師對系統內成對保守內力做功、參照系選取等內容強調不夠,使學生不能準確理解彈性勢能的概念[3]．水平放置和豎直放置的彈簧振子其振動表達式相同，動能和勢能表達形式也一樣，物理意義卻完全不同；前者為單純振子與彈簧組成系統的彈簧性勢能,而后者卻是振子在彈性力勢場和重力勢場組成的復合勢場中運動時，復合勢場所對應的勢能，即為彈性勢能與重力勢能的疊加．這部分的講解涉及到對勢能定義的理解，也是學生理解的難點.在與水平彈簧振子進行對比的基礎上，從兩個角度對豎直彈簧振子的能量進行分析．

1 水平放置的彈簧振子能量

水平放置的彈簧振子如圖1所示.簡諧振動的動力學方程為

圖1

其運動學方程為

x=Acos(ωt+φ)

水平放置的彈簧振子的動能為

勢能(彈性勢能)為

總機械能

E=Ek+Ep=

2 豎直放置的彈簧振子能量勢能零點的選擇

豎直放置的彈簧振子能量，教材中通常只給出動力學方程，然后給出彈簧振子勢能仍為

2.1 以彈簧平衡點為勢能零點

通常研究討論中會以平衡點作為彈簧勢能和重力勢能零點． 如圖2所示, 豎直放置彈簧振子，設輕彈簧的勁度系數為κ，原長為l0，振子質量為m，平衡狀態下彈簧伸長到l．以平衡點為坐標原點，建立如圖2所示坐標系．

當振子偏離平衡點x時，則彈簧振子勢能為

上式右邊方括號內為彈性勢能，后邊圓括號內為重力勢能.

圖2 彈簧平衡點為勢能零點

又因為

mg=κ(l-l0)=κΔl

所以

可見重力勢能恰好與部分彈性勢能互相轉換而抵消.由mg=κΔl可知，重力被抵消，使系統的總勢能不出現重力勢能．

這是通常采用的方法.對于兩個勢能采用一個勢能零點，優點在于推導簡便，有助于深刻理解勢能相對性的內涵；缺點在于按照初學者的慣性思維，對于重力勢能的相對性應用熟練，而彈性勢能仍舊習慣采用原長為彈性勢能零點.筆者認為依照慣性思維循序漸進進行學習講解，也不失為一個好辦法．

2.2 以彈簧原長為勢能零點

彈簧振子系統不變，以彈簧原長為彈性勢能零點(圖3).對于重力勢能零點選取待定，為了探討的方便，我們暫時使重力勢能為mgh．則

上式右邊方括號內為彈性勢能，后邊圓括號內為重力勢能，即

又因為

mg=κ(l-l0)=κΔl

所以

得

可見只要選取一個重力勢能零點，使得此式成立，即可滿足系統勢能為

圖3 以彈簧原長為勢能零點

這種方法優點在于按照學生的認識規律學習，易于理解接受；缺點在于選取兩個勢能零點稍顯繁瑣．

3 結束語

實踐證明第二種方法對初學者講解效果更佳.可在第二種方法的基礎上再介紹第一種方法，既有利于學生對彈簧振子能量的理解，又能更加深刻理解勢能零點選取的相對性．

參考文獻

1 楊青勇,李作春.簡諧振動系統的勢能，南寧師范高等專科學校學報, 2001( 4 )：75～77

2 康穎.大學物理.北京：科學出版社，2005.139～140

4 熊正文.關于彈性勢能與勢能零點和坐標原點選取問題的討論.黔東南民族師范高等專科學校學報，2002(12):11～12