任意振幅擺動周期誤差分布的數值計算

琚鑫 鄭鵡

(首都師范大學物理系 北京 100048)

1 引言

單擺是物理學中一類重要的諧振子模型．無論是在經典物理，還是在量子物理，能否成功地求解諧振子問題，可以被認為是一個物理理論是否可行的判定標準之一.單擺還為人們開啟了一條由線性物理學進入到非線性物理學的窗口．單擺這一簡單的物理模型不僅包含了物理知識和物理規律，同時在求解單擺問題的過程中，很多科學方法和思維模式的使用，使得單擺無論是在中學教學中，還是在大學教學中都占據了極為重要的地位．

單擺中的一個重要的研究課題就是單擺的周期．如何精確地從理論上計算和從實驗上測量周期就成為一個需要深入研究的問題．在理論計算方面，目前教材中流行的方法基本都是采用線性近似，即對擺角θ的正弦值做線性處理，亦即sinθ≈θ，將非線性的微分方程變成線性微分方程，于是可以得到單擺的振動周期為

(1)

其中l是擺長，g是重力加速度．

筆者注意到，現行高中物理新課程教材[1]中，有這樣一段注釋：

“利用高等數學研究單擺的運動就會看到，(1)式是個近似公式，由它算出的周期與精確值之間的差別伴隨著偏角的增加而增加．當偏角θ為5°時兩者相差0.01%，7°時兩者相差0.1%，15°時兩者相差0.5%，23°時兩者相差1%．”

這里很自然地涉及兩個問題：一個是理論上如何給出一個任意擺角的單擺振動周期的相對誤差分布；另一個是在實驗上，多大的振幅可以滿足sinθ≈θ成立，使得小振幅單擺可以理論與實驗相互自洽．

在開始討論之前，我們先要糾正一下措辭，“單擺”這個名詞的定義應當是被限定在小角度或小振幅情況下的擺動.當振幅很大時，擺動就不能再稱之為單擺，于是我們采用“任意振幅擺”這個詞來代表我們所研究的問題．

首先回答第二個問題，采取控制誤差的方法，在實驗測量中，認為sinθ是真實值，而θ是我們選取的近似值或者是“測量值”.計算其相對誤差γ在γ0=0.1%的時候，所對應的角度值，有下列方程

可以得到數值解θ=4.44°，也就是說，在這個范圍以內，都可以認為sinθ≈θ成立，即我們可以放心地使用線性微分方程來求解振動周期．但是，這樣小的振幅，雖然在實驗測量上的問題解決了，但是其“可視性”和“操作性”卻相對一般.比如，作為演示實驗使用的時候，距離稍遠的觀察者幾乎就看不太清楚單擺的振動．為了解決這個問題，我們不妨非常大膽的將振幅增大，但是這需要嚴格控制誤差，這就回到了第一個問題上.為此，我們需要計算任意振幅下擺的振動周期的相對誤差．我們與很多文獻不同，沒有采用橢圓積分化為級數展開的方法[2]，而是采取從頭計算的方法，直接給出精確表達式，直接進行數值積分，從而避免了一些不必要的步驟和誤差．

2 模型和計算

如圖1所示，其中θm為最大振幅，l是擺長，mg是振子所受的重力，對于任意的θ位置，由于只有重力做功，因此系統機械能守恒，選擺動平衡時所在位置為零勢能面，有

mgl(1-cosθm)

(2)

可得

(3)

圖1 單擺

對時間t積分，就可以得到小球從最低點第一次到達最高點的時間t0，再乘以4，就可得到整個運動的一個周期

(4)

這是一個廣義含參積分．我們將

作為單擺周期的精確真實值，以此來計算大振幅情況下的系統誤差γ(θm).

(5)

3 計算結果和討論

式(5)即為擺角小于90°的任意振幅擺振動周期的相對誤差的嚴格解析表達式.下面是數值計算的結果．我們給出以5°角為等差的任意振幅擺振動周期相對誤差分布，如表1.

表1 任意振幅擺振動周期的相對誤差

將表1給出的數據，繪制出如圖2所示的系統相對誤差γ(θm)與振幅θm的關系曲線.

圖2 任意振幅擺振動周期的相對誤差曲線

從圖2可以看出，曲線有以下特點.

誤差的增加整體上呈現一個非線性單調增長的趨勢.在振幅趨近于零的時候，相對誤差為零，在振幅達到90°的時候，相對誤差為18%.

為何會出現上述結果？有一點很清楚，就是當振幅θm→0的時候，剛好滿足第一部分所說的線性近似的條件，因而得出的周期就可以認為是真實值 ，誤差γ→0．當振幅θm→90°時，相對誤差達到了最大值．結合式(5)可知，曲線的單調增長說明了振動周期隨著振幅θm的增長也呈現一個單調性的變化，從物理上講，就是振幅越大，振動的周期越長．

此外，我們的計算結果在振幅θm超過30°之后，誤差值均系統性地小于文獻[3]中的結果.這其中的原因就在于當振幅θm較大時，對于sinθ的展開就不能只取到第二項的θ項，而是要繼續考慮更高次冪的展開項.正是由于忽略了后面的高次項，因此必然會導致計算的誤差偏大．

再從數值上看，當振幅θm=45°的時候，相對誤差γ→ 4%，也就是說，如果一個固有周期為T0=10 s的小振幅單擺，當把它的振幅變到θm=45°的時候，周期變為

而0.4 s的差別，對于演示實驗來說，是完全可以接受的．

4 結論

我們推導了任意振幅擺周期相對誤差的解析表達式，利用從頭算起的數值方法，計算了振幅介于0°到90°之間的單擺周期的相對誤差．計算過程中沒有采取近似，所以計算結果為準確的數值解．

參考文獻

1 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材開發中心.普通高中課程標準實驗教科書(物理·選修3-4).北京：人民教育出版社，2007

2 喻利華，張月勝.單擺周期的數值計算.物理通報，2001(7)

3 吳云龍.對單擺周期測定值誤差的詮釋.中學物理教學參考，2004,33(6)