變力沖量的教學研究

王禮祥 蔡書 李東陽

(西南民族大學預科教育學院 四川 成都 610041)

1 引言

在“普通物理”教學中，我們發現學生在理解沖量概念時總是停留在高中物理水平上,認為沖量的方向總是跟外力的方向一致或沖量的方向由外力的方向確定.再加上一些“普通物理”教材也存在部分誤導，如對沖量定義式

解釋說“由于力是矢量，時間是標量，所以力的沖量也是矢量，其方向與力的方向相同.”[1].以致不能正確理解力的沖量反映的是力在一段時間內的時間積累作用，特別是不能突破變力的沖量方向性的教學難點.因此，我們做了以下關于變力沖量的教學研究，供參考.

2 沖量的定義

沖量是描述力對時間的積累作用的物理量，是矢量，而且是一個過程量[2].

2.1 恒力的沖量定義

當物體所受外力為恒力F(單個恒力或多個恒力的合力)時，恒力F在作用時間Δt=t2-t1內的沖量I等于恒力與力的作用時間Δt的乘積，即

I=FΔt=F(t2-t1)

(1)

式(1)表明當F恒定(大小和方向都不變)時，它的沖量I的方向與恒力F的方向一致,即恒力的沖量方向就是恒力F的方向.沖量的這個定義說明：

(1)沖量是過程量,它由外力和力的作用時間共同決定，力的沖量總是對時間或過程來討論的.

(2)沖量跟參考系選擇和受力物體的運動狀態無關,因為外力和作用時間都與參考系和物體的運動狀態無關.

(3)沖量是矢量[3],既有大小又有方向，疊加合成滿足平行四邊形法則.外力為恒力條件下，沖量的大小等于恒力的大小與恒力的作用時間乘積，方向與外力的方向一致；對于可簡化為質點的物體而言，合力的沖量等于分力的沖量矢量和.即

(2)

(4)沖量的作用效果是改變物體的動量.

2.2 微元沖量的概念

微元沖量是指不管物體所受的是恒力還是變力，取一段極短的時間dt作為研究過程;用數學極限表示為

則dt極短到趨于零的時間內恒力與變力都可視為瞬時不變量，于是恒力的沖量定義適用，即

dI=Fdt=F(t)dt

(3)

式(3)表明微元沖量的方向始終與外力的瞬時方向一致.

2.3 變力沖量定義式及分量式意義詮釋

一段有限時間間隔內的變力的沖量，原則上可由微元沖量的矢量疊加合成得到.也就是在變力F(t)對物體的作用時間Δt=t2-t1內，將Δt時間間隔平均分成n等分，并計算n個微元沖量矢量的疊加合成，再取n→∞的求和極限計算，即

(4)

式(4)的矢量疊加合成如圖1(以二維平面變力為例)所示.

圖1

式(4)的分量式可寫成如下幾種分量形式.

(1)三維直角坐標系分量式

I=Ixi+Iyj+Izk=

(5)

直角坐標系分量式(5)的特殊之處表現為沿x軸、y軸和z軸正向的單位矢量i，j，k都是恒定不隨時間變化的矢量,所以三維變力矢量的沖量直角坐標系分量式計算可類似于方向不變而大小隨時間不斷變化的力的沖量計算一樣處理，即

(6)

圖2

對式(6)采用SI制然后作無量綱化處理：設沖量為I、時間為t、頻率為ν、力為F，則I，t，ν，F都不帶量綱僅為數學意義的純數.直觀沖量圖示為函數F(t)圖線與t軸在(t2-t1)段上所圍的幾何面積，就是數學意義的定積分.圖2為受迫振動驅動力(策動力)

F(t)=F0cos2πνt

在無量綱化處理下，取F0=10，ν=1繪制出的t1=1到t2=2.6間隔內變力沖量大小的直觀幾何面積，如圖2陰影所示.此面積可正可負，其正說明沖量方向與規定正方向相同，負為相反.變力沖量的三維分量Ix,Iy,Iz也可正可負，它們表明沖量分量與x軸、y軸和z軸正向相同或相反.

(2)平面曲線運動自然坐標系中的分量式

平面自然坐標系的特點是切向單位矢量τ和法向單位矢量n是隨時間變化的.所以平面自然坐標系中變力沖量的分量式為

(7)

注意n(t)和τ(t)不能提到積分號外.

平面極坐標系中的變力沖量分量式類似于平面自然坐標系的情形，也是徑向單位矢量er和極向單位矢量eθ隨時間變化，故在變力沖量的積分表達式中不能把單位矢量提到積分號外，即

(8)

除非把自然坐標系中的單位矢量分解為用直角坐標系單位矢量來表示，方能回到直角坐標系中簡單積分計算變力沖量的分量式.

(3)三維圓柱坐標系中的分量式

三維圓柱坐標系由平面極坐標和與之垂直的z軸構成，所以在三維圓柱坐標系中變力沖量的分量表達式是

(9)

式(9)中只有Iz分量可以直接積分計算.

(4)三維球坐標系中的分量式

三維球坐標系中單位矢量也是隨時不斷變化的，所以其分量表達式也只是形式上，除非單位矢量的時間函數是三維直角坐標系單位矢量的顯式.球坐標系中的變力沖量分量式是

(10)

3 幾個變力沖量的算例

3.1 一維變力沖量

【例1】已知質量為m=10 kg的物體位于坐標原點時的初速度為v0=1 m/s，之后物體受到隨x坐標變化的力F(x)=10(x+1)(SI)作用而由原點運動到x=10 m處.求此過程中該變力的沖量.

解析：采取無量綱化處理.由沖量定義，此運動過程中變力的沖量為

式中t1是物體位于原點x=0處的時刻，t2是物體運動到x=10處的時刻.但x與時間t的函數關系是隱含形式的，不能直接解算，還必須找出x與t的函數關系式.x與t的函數關系可由牛頓第二定律與加速度、速度和位移的關系導出.

根據牛頓第二定律有

(11)

(12)

(13)

對(13)式兩邊積分,并代入初始條件，有

得到

即

v2=x2+2x+1

又因x>0，故可得

v=x+1

上式進行分離變量變為

(14)

ln(x+1)=t

即

x=et-1

可見，當x=0時，t1=0；而x=10時，t2=ln11.所以

|10et|ln110 =100

故得到變力的沖量

I=100 N·s

3.2 二維變力沖量

【例2】已知做勻速圓周運動的物體所受向心力[4]為F(t)=-10sin(πt)i-10cos(πt)j(SI)，求

0～1 s和0～2 s的沖量.

解法1：無量綱化處理.采用直有坐標系沖量定義式

矢量合成如圖3和圖4.

圖3 圖4

解法2：采用自然坐標系沖量為

可見，其他坐標系中的沖量分量表達式最終都可回到直角坐標系中進行計算，因為只有直角坐標上的單位矢量是恒矢量，積分時單位矢量可以先提到積分號外去.

4 動量定理

沖量由外力和力的作用時間共同確定，與物體的運動狀態和參考系的選擇無關.沖量是過程量，它與具體的運動過程或運動時間相聯系；講沖量必須指明是什么過程或具體指定的時間內的沖量.那么，沖量的物理意義是什么呢？下面談這個問題.

4.1 動量定理的微分形式

dI=Fdt=dp

(15)

由式(15)知道微元沖量或者沖量元是迫使物體動量改變的原因.沖量為零時動量不變，由過程量(沖量)作用導致物體的運動狀態量(動量)的改變,它揭示了外力的瞬時方向與微元沖量的方向或動量的改變方向始終相同.

4.2 動量定理的積分形式

動量定理的微分形式說明在微元過程中外力的微元沖量與物體動量改變之間的關系，同時指明了微元沖量的方向總是與力的瞬時方向一致.對于一個有限的運動過程或一段有限運動時間來說，外力的總沖量(合力的沖量或分力的沖量矢量和)與物體在此過程始末狀態時的動量增量之間的關系，即是積分形式的動量定理

(16)

式(16)表明,不論外力是恒力還是變力或變力與恒力的矢量和，它們的總沖量總是等于由于沖量作用而使物體動量改變的增量.

4.3 物體系或質點組的動量定理

動量定理的微分形式或積分形式都只針對以單個物體為研究對象.當把研究對象擴展到物體系或質點組時，系統整體的外力沖量與系統總動量的改變量關系稱為物體系的動量定理.它是由單個物體的動量定理引出的.設物體系共有n個物體并對物體編號為1，2，3，…，n，且假設第1個物體所受全部外力的和為F1，全部內力的和為f1；第2個物體所受全部外力的和為F2，全部內力的和為f2；……第i個物體所受全部外力的和為Fi，全部內力的和為fi；……第n個物體所受全部外力的和為Fn，全部內力的和為fn，則由單個物體的動量定理有

?

?

(17)

式(17)即是物體系或質點組的動量定理.它說明系統的總動量改變全是外力沖量作用的結果，系統內力成對出現其沖量互相抵消，內力不改變系統總動量.

應用動量定理可以轉換研究對象，改用物體動量改變增量計算力的沖量.比如對例1和例2來說有下面的另解.

例1另解：先由動能定理求末速度，再由動量定理求沖量.由

結合動能定理有

代入數據得

A=600 J

可解出

v=11 m/s

所以依動量定理得

I=mv-mv0=100 N·s

I2=p1-p2=0

1 蔡保平 ，杜乃珍.普通物理學. 北京：化學工業出版社，2007.17～20

2 馬冠中, 胡炳元 ,武荷嵐. 中美教材中沖量概念比較研究.物理教學，2009(6)：64～65

3 門云閣.沖量方向的剖析.河北師范學院學報(自然科學版),1996(1):84～68

4 闞少玲.計算向心力沖量的系列方法.冀東學刊,1995(5)：9～12