均勻球體轉動慣量的多種求法

車曉芳

(蘭州商學院 信息工程學院 甘肅 蘭州 730020)

1 引言

在物理學和工程力學中，轉動慣量的計算是個難點.該部分內容是學生在中學學習階段從未接觸過的，很多同學認為不好掌握.這就需要我們開拓學生的思路，培養學生分析、解決問題的能力，使學生學會主動獲取知識，提高學習興趣.為此，我們以均勻球體轉動慣量的計算為例，具體說明如何擴展思路，培養學生學習的主動性.

2 轉動慣量的計算

【例】求半徑為R,質量為M的均勻球體繞直徑的轉動慣量.

解法一:由轉動慣量的定義式出發，通過取質量微元的方法進行求解

取球體所繞的直徑為z軸，如圖1建立空間直角坐標系，該坐標系中在點(x,y,z)處任取一體積微元，該微元可近似看成一小立方體，且可視為質點，則該體積元的體積

dV=dxdydz

其質量

dm=ρdxdydz

ρ為球的質量體密.設該體積元到z軸的距離為r，則該體積元繞z軸的轉動慣量為

dJ=r2dm=r2ρdxdydz

圖1

其中r2=x2+y2，所以整個球體的轉動慣量為

解法二:用微分法由已知球殼的轉動慣量，求球體的轉動慣量

可以將球體看成是由很多個半徑不同的薄球殼疊加成的，所以可以取一個半徑為r，厚度為dr的薄球殼，如圖2所示，則該球殼的質量為

dm=ρdV=ρ4πr2dr

圖2

繞z軸的轉動慣量為

則整個球體的轉動慣量為

解法三：用微分法由已知圓盤的轉動慣量，求球體的轉動慣量

沿垂直于z軸的方向切割球體，得到很多個薄圓臺，將每個薄圓臺都近似看成一薄圓盤，任取一半徑為r、厚度為dr的薄圓臺，如圖3所示，則該薄圓臺的質量為

dm=ρπr2dz

圖3

它繞z軸的轉動慣量為

則整個球體繞z軸的轉動慣量為

解法四：用平行軸定理結合解法三，求球體的轉動慣量

若沿與z軸平行的方向切割球體，也會得到很多個薄圓臺，仍將薄圓臺近似看成薄圓盤，取半徑為r，厚度為dy的薄圓臺，則該圓臺繞自己直徑的轉動慣量為

應用平行軸定理可得它繞z軸的轉動慣量為

dJ′=dJ+y2dm

則整個球體的轉動慣量為

3 小結

通過上述計算過程的分析，解決了學生在轉動慣量計算方面的困難，同時也提高了學生解決問題的能力，開拓了思路，有利于培養學生的學習興趣，使學生的智力得到充分發揮.

參考文獻

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