對(duì)一道彈簧連接體問(wèn)題的奇思妙想
——2009年高考江蘇卷物理第9題

韋葉平 董文杰

(前黃高級(jí)中學(xué) 江蘇 常州 213161)

原題：如圖1所示，兩質(zhì)量相等的物塊A，B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng),放置在水平面上，所有接觸面均光滑.彈簧開(kāi)始時(shí)處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi).在物塊A上施加一個(gè)水平恒力F，A，B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有

A．當(dāng)A，B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B．當(dāng)A，B加速度相等時(shí)，A，B的速度差最大

C．當(dāng)A，B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D．當(dāng)A，B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大

圖1

1 有“瑕疵”的常規(guī)解法

對(duì)物體施加恒力F后，物體A隨彈力的增大做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，B受彈力做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng).t1時(shí)刻速度第一次相同，彈簧拉伸到最長(zhǎng)，反映在v-t圖像上，圖線(xiàn)與時(shí)間軸圍成的面積之差最大，即SOAPB最大(圖2) .

1.1 幾點(diǎn)思考

(1)如圖2所示，t1時(shí)刻，物體A的加速度等于零(圖線(xiàn)斜率為零)，即F=F彈;可知此時(shí)物體B的加速度等于物體A在t=0時(shí)刻的加速度，即F彈=F=ma(初始時(shí)刻物體A僅受恒力F作用).綜上分析得,圖線(xiàn)A與B關(guān)于中心對(duì)稱(chēng).

(2)t1時(shí)刻之后，彈簧逐漸向原長(zhǎng)恢復(fù)，A做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，B做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng).當(dāng)速度再次相同時(shí)，如圖2 中t2時(shí)刻,圖線(xiàn)和時(shí)間軸圍成的面積與上次相同，即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng).以后重復(fù)這種運(yùn)動(dòng).

(3)從質(zhì)心的角度理解，由F=(mA+mB)aC可知，質(zhì)心加速度恒定，做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的速度-時(shí)間圖線(xiàn)，如圖2中虛線(xiàn)C，物體A，B的速度不斷增大，但加速度周期性變化.

圖2

(4)在圖2中，圖線(xiàn)A，B處切線(xiàn)的斜率相等，即加速度相同時(shí)，速度相差最大.

綜上，不難得出正確答案：B，C，D.

1.2 疑問(wèn)

筆者和同事們有同樣的疑問(wèn)，物體A的加速度剛好減小到零時(shí)，兩物體速度相等；可不可能出現(xiàn)如圖3所示的情況呢？即物體A的加速度反向后在t1時(shí)刻兩物體的速度相等.那么，選項(xiàng)B，C出現(xiàn)了問(wèn)題.

圖3

2 理論分析

2.1 驗(yàn)證圖2

為此我們利用非慣性系和微積分知識(shí)作如下分析：選取B為參考系，當(dāng)A相對(duì)B運(yùn)動(dòng)的位移為x時(shí)，對(duì)B有

κx=ma

對(duì)A有

得

積分之

得

2.2 進(jìn)一步思考

若A,B的質(zhì)量不等,對(duì)B有

κx=mBa

對(duì)A有

得

積分得

圖4

3 利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”輔助物理教學(xué)

非慣性系和微積分知識(shí)在高中物理學(xué)習(xí)階段的要求不高，學(xué)生在靈活運(yùn)用方面存在困難.筆者在思考,能否在理論分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)現(xiàn)代教育技術(shù)手段模擬物理過(guò)程？ “仿真物理實(shí)驗(yàn)室”是一種集模擬物理過(guò)程、即時(shí)數(shù)據(jù)分析、描繪物理圖像等為一體的優(yōu)秀教學(xué)軟件.它為物理課堂的教與學(xué)提供了豐富而又方便的創(chuàng)造功能，使用者可以根據(jù)需要模擬宏觀或微觀、高速或低速、化靜為動(dòng)等平常無(wú)法實(shí)現(xiàn)或在現(xiàn)有中學(xué)實(shí)驗(yàn)條件下無(wú)法完成的實(shí)驗(yàn).

為了觀察的效果更加明顯，筆者設(shè)定了一些數(shù)據(jù):mA=mB=2 kg ，F(xiàn)=1.5 N，勁度系數(shù)κ=0.3 N/m，原長(zhǎng)l0=0.6 m.其中，A,B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程,如圖5中虛線(xiàn)框所示；同時(shí)，此后的運(yùn)動(dòng)圖像也可以描繪出來(lái).這樣學(xué)生就能更加清晰地理解運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程.圖5的“波形”圖線(xiàn)中，“波谷”M點(diǎn)表示彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)；N點(diǎn)表示彈簧拉伸到最長(zhǎng)狀態(tài).彈簧長(zhǎng)度的變化過(guò)程在“波形”圖線(xiàn)上也能一目了然.

圖5

圖6

取mA=1 kg，mB=2 kg ，κ=0.5 N/m，其他物理量不變.“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”描繪的圖像如圖6所示，類(lèi)似于圖3.

取mA=2 kg，mB=1 kg ，κ=0.3 N/m ，其他物理量不變.如圖7所示，類(lèi)似于圖4.

圖7

“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”雖然形象直觀，但對(duì)于較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)者必須清晰物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程及各個(gè)物理量之間的聯(lián)系，才能設(shè)計(jì)出理想的實(shí)驗(yàn)，得到理想的效果.如本題的模擬過(guò)程中，就要利用該程序提供的“程序語(yǔ)言”進(jìn)行適當(dāng)?shù)木幊蹋瑘D8是編程的對(duì)話(huà)框，在圖9中筆者摘錄了“mA=mB=2 kg”情況下的編程程序.

圖8 編程框圖

圖9 圖8中的程序

4 奇思妙想

在教學(xué)中，如何讓學(xué)生感覺(jué)簡(jiǎn)單易懂？筆者除了介紹“有瑕疵的常規(guī)解法”(v-t圖解法)，還不斷在探索新的思路和方法.下面一種解法供讀者探討，有不當(dāng)之處還望批評(píng)指正.

圖10

選取系統(tǒng)的質(zhì)心為參考系(質(zhì)心向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng))——這也是此法的巧妙之處，即x既是彈簧的形變量，也是物體A,B之間的相對(duì)位移.

思考：圖線(xiàn)與x軸圍成的面積表示什么呢？

當(dāng)橫坐標(biāo)等于x時(shí)，物體A的加速度等于零，即

F=F彈=κx

對(duì)物體B有

F彈=κx=maB

所以A,B圖線(xiàn)與橫坐標(biāo)圍成的面積相等，即vA=vB，彈簧伸長(zhǎng)最大，彈性勢(shì)能最大.之后A做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，B做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，彈簧向自然長(zhǎng)度恢復(fù)，如圖10中右側(cè)虛線(xiàn)部分.

對(duì)mA≠mB的進(jìn)一步思考.

圖11

圖12

(2)若mA>mB，如圖12所示.當(dāng)橫坐標(biāo)M=x，即物體A的加速度等于零時(shí)，兩圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積不相等.要保證面積相等，即速度相等，亦即橫坐標(biāo)為N點(diǎn)處，此時(shí)aB>aA>0.與圖7對(duì)比.

5 找到創(chuàng)新解題的樂(lè)趣

筆者在總結(jié)撰寫(xiě)本文時(shí)，也非常開(kāi)心，興趣濃厚，一氣呵成.學(xué)生如果也能通過(guò)平時(shí)的思考與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)別人不能發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，體會(huì)到學(xué)習(xí)物理的成就感，必然會(huì)興趣十足，也一定能夠?qū)W好物理.雖然新的解法可能存在一定的“瑕疵”或者“錯(cuò)誤”，但我們通過(guò)共同探討，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，也是一種進(jìn)步.所以，筆者撰寫(xiě)本文的目的也是想以此來(lái)激勵(lì)廣大教師能不斷思考，不斷創(chuàng)新，在創(chuàng)新中成長(zhǎng)！