用平動(dòng)慣性力求解力學(xué)問(wèn)題的討論*

許新勝 張雪

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241000)

牛頓第二定律是經(jīng)典力學(xué)的核心，僅成立于慣性系[1].我們知道，對(duì)于地面上的宏觀低速運(yùn)動(dòng)，在一定精度范圍內(nèi)，地球以及地球上相對(duì)于地球靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系都可看成慣性系，而相對(duì)于地球有加速度的參照系是非慣性系.對(duì)于一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，如果相對(duì)于地面的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，物理圖像不太清楚，這時(shí)可以考慮在非慣性系中處理問(wèn)題.但是，在非慣性系中處理力學(xué)問(wèn)題就要牽涉到慣性力.

1 平動(dòng)非慣性力的應(yīng)用注意事項(xiàng)

設(shè)非慣性系的牽連加速度為a牽，物體相對(duì)非慣性系的加速度為a相，則物體相對(duì)慣性系中的絕對(duì)加速度為

a絕=a相+a牽

(1)

如果物體質(zhì)量為m，受到的合外力為F，則由牛頓第二定律可知

F=ma=m(a相+a牽)

(2)

(2)式改寫(xiě)成

F+(-ma相)=ma牽

(3)

令F慣=-ma相

(4)

則有F+F慣=ma牽

(5)

(5)式即平動(dòng)非慣性系中的“牛頓第二定律”[2].其中，F(xiàn)慣大小為物體的質(zhì)量與非慣性系加速度a相的乘積，方向與非慣性系平動(dòng)加速度a相相反.非慣性系中的牛頓第二定律表明，物體的質(zhì)量與相對(duì)非慣性系的加速度的乘積等于物體受所有外力(包括慣性力)的合力.

應(yīng)用慣性力，需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)慣性力是一種假想的力，沒(méi)有施力物體，也沒(méi)有反作用力；

(2)慣性力與其他實(shí)際作用的力，如重力、拉力、彈力等，地位相同；

(3)慣性力能做功、有沖量，在非慣性系中引入慣性力后，動(dòng)能定理、動(dòng)量定理依然成立.

下面舉幾個(gè)在非慣性系中引入慣性力來(lái)求解力學(xué)問(wèn)題的具體實(shí)例.

2 平動(dòng)非慣性力的應(yīng)用舉例

【例1】如圖1所示，在光滑水平桌面上放有一質(zhì)量為M的光滑斜面體A，其光滑斜面上端放一質(zhì)量為m的小物塊B(可視為質(zhì)點(diǎn))，斜面傾角為θ.試求小物塊B從A頂端下滑到底端過(guò)程中兩者之間的相互作用力.

圖1

解析：斜面體A不固定，使得小物塊B在沿斜面下滑的過(guò)程中還會(huì)跟隨斜面體A向左運(yùn)動(dòng)，小物塊B相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，物理圖像不太清晰.下面以斜面體A為參照系來(lái)考察小物塊B的運(yùn)動(dòng)從而求解.由于斜面體A有向左的加速度，故求解過(guò)程中需要引入慣性力.

設(shè)A與B之間的相互作用力為N，A相對(duì)地面的加速度為a相，則在斜面體參照系中，B還受慣性力F慣作用,如圖2所示.即

F慣=-ma相

(6)

對(duì)A，由水平方向的牛頓第二定律可得

Nsinθ=Ma相

(7)

對(duì)B，在斜面體A參照系中，沿垂直于斜面的方向小物塊受力平衡，有

N+F慣sinθ=mgcosθ

(8)

由(6)、(7)、(8)式可解得

圖2

【例2】如圖3所示，質(zhì)量為M的金屬板置于光滑地面上，板中央有一光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸O，軸上連著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，桿的上端固定有一質(zhì)量為m的小球，且m

圖3

解析：系統(tǒng)水平方向不受外力，初始狀態(tài)系統(tǒng)水平動(dòng)量為零，又由于桿不可伸長(zhǎng)，末狀態(tài)球與金屬板兩者水平速度相同，設(shè)共同的水平速度為v1，由動(dòng)量守恒定律可知

(M+m)v1=0

(9)

即

v1=0

設(shè)小球豎直速度為v2，由于地面支持力及桿中內(nèi)力不做功，由機(jī)械能守恒定律可得

當(dāng)前城市規(guī)劃由于建設(shè)速度過(guò)快，造成大量的噪音污染和城市建筑垃圾的污染，這些污染造成了城市空間的緊張，尤其是城市建筑垃圾的堆積問(wèn)題。良好的生態(tài)環(huán)境是城市發(fā)展的基礎(chǔ)條件，沒(méi)有了生態(tài)環(huán)境，城市建設(shè)便無(wú)從談起。同時(shí)，良好的生態(tài)環(huán)境也是評(píng)價(jià)一座城市是否適宜人們居住的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。城市空間是否合理，城市交通是否便利，這些因素常常被人所重視，被認(rèn)為是城市居住的重要條件，實(shí)際上生態(tài)環(huán)境的優(yōu)劣才是決定城市是否宜居的根本標(biāo)準(zhǔn)。

(10)

對(duì)于桿轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)的末態(tài)，m相對(duì)M的運(yùn)動(dòng)可看作轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v2，此時(shí)桿中有張力設(shè)為T(mén)，如圖4所示，M加速度不為零，以M為參照系，球還受到水平向左的慣性力作用.于是有

(11)

又由牛頓第二定律可得

(12)

由(10)、(11)、(12)式解得

圖4

【例3】一個(gè)小滑塊放在半徑為R的光滑半球頂部，如圖5所示.由于輕擾，它開(kāi)始由靜止下滑.求在下列情況下，它離開(kāi)球面時(shí)，離半球底面的高度h.

圖5

(1)半球面以10 m/s 的速度勻速上升；

圖6

(1)半球面勻速上升時(shí)，半球面為慣性系.滑塊在半球上滑動(dòng)時(shí)的受力如圖6所示，由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得

(13)

(14)

設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0，此時(shí)

N=0

(15)

由(13)、(14)、(15)式解得

即脫離時(shí)

圖7

(2)半球面勻加速上升時(shí)，半球面為非慣性系，滑塊在半球面上滑動(dòng)時(shí)要受到向下的慣性力的作用，如圖7所示，即

(16)

由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得

(17)

(18)

設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0，仍有

N=0

(19)

由(16)～(19)式解得

即脫離時(shí)

(3)半球面勻加速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，半球面為非慣性系，滑塊在半球面上滑動(dòng)時(shí)要受到向左的慣性力的作用，如圖8所示，即

(20)

圖8

另外，由動(dòng)能定理及牛頓第二定律可得

(21)

(22)

設(shè)脫離位置對(duì)應(yīng)的角度為θ0，仍有

N=0

(23)

由(20)～(23)式解得

cosθ0=0.81

或

cosθ0=0.44

cosθ0=0.44 不符合實(shí)際意義，故可舍去.于是小球脫離球面時(shí)有

h=0.81R

3 小結(jié)

從上述幾個(gè)典型的例子可見(jiàn)，小物塊或小球相對(duì)慣性系(地面)的運(yùn)動(dòng)都很復(fù)雜，物理過(guò)程難以把握，若在地面慣性系中求解有一定的難度.但在平動(dòng)非慣性系中，引入慣性力，則物理圖像變得清晰，物理過(guò)程變得容易理解，平衡方程或圓周運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律就可以應(yīng)用，從而使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單.

參考文獻(xiàn)

1 程守洙，江之水．普通物理學(xué)(第五版)．北京：高等教育出版社，1998

2 周衍柏．理論力學(xué)教程(第三版)．北京：高等教育出版社，2009