中西古代對π的理解及其應用

牟曉宇

(吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136000)

1 中西古代對π的計算

在人類的歷史上許多民族都或早或晚的涉及了π的計算，但都沒有達到古代中國和古希臘的計算精度.中國最早的數學著作《周髀算經》里有關圓周率的計算是“周三徑一”，可見當時認為π=3；西漢時期的劉歆認為π=3．1547；約在公元二世紀，張衡取π=3.1466和3.162；三國時吳王蕃認為π=3.1566[1].但這些圓周率是通過什么樣的計算方法獲得的在中國古代的典籍中還缺乏明確的記載.中國歷史上可以和歐幾里得比肩的數學家劉徽在《九章算術注》中開創性的用“割圓術”的方法來計算圓周率，在中國的歷史中可謂是第一個對π進行系統性理論性計算的數學家.用現代的幾何學觀點解讀劉徽的“割圓術”，可以發現劉徽非常巧妙地利用圓的內接正多邊形去無限分圓.劉徽認為當正n邊形的邊數越多時，圓的面積便與這個內接正多邊形面積越接近.劉徽指出：“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至少不可割，則與圓合體而無所失矣”.通過計算得出π=3.14.后又進一步求得π=3.1416.在劉徽之后南北朝時期著名的數學家、天文學家祖沖之(公元429-509)在其《綴術》中對圓周率的進一步計算，不僅使結果更為精準，而且把中國有關圓周率的研究又向前推進了一步.遺憾的是祖沖之的數學著作《綴術》失傳了，成為中國數學史上的一大憾事.

2 中西古代數學家對π的研究的啟示

數學是一個民族理性思維創造力的表現，是一種抽象推理思維的表現形式.這種體現在數學家身上的理性思維的創造形式往往代表了不同民族對數學的理解與應用.古代中國與古希臘是兩個不同的民族，但不同的計算方法卻獲得了幾乎有些相近的結果.當我們把這兩個民族有代表性的方法—劉徽的“割圓術”與阿基米德的“窮竭法”作以比較時，就會發現這兩位古人所用的思維方式有著奇妙的相似之處.他們都考慮從逐步增加圓的內接正多邊形著手，進而獲得圓的周長與直徑之間的關系.中國古代數學家劉徽用圓內接正多邊形分割圓的周長時，認識到當多邊形的邊數無窮多時，就可以用正多邊形的邊長來替代圓的周長.通過前面的介紹可以看到“割圓術”涉及到極限的無窮思想與無窮小分割，是一個無限計算的過程.與此相類似，古希臘也是用圓內接正多邊形的方法取得圓周率的計算，但是古希臘的“窮竭法”不含明確的極限步驟，它依賴于間接證法[2].即為證明一個幾何量(面積，體積等)S等于一個給定量C，以分割法構造出兩個序列{Ln}和{Un}，使得對所有n,都有Ln

在劉徽的“割圓術”中可以看到他的主要思想是無限細分中的曲直轉化.追溯歷史可以發現這是中國古代數學家一種樸素直觀的邏輯聯想，但是還缺乏明確的計算和演繹步驟.古希臘人是對數學有特別崇拜心理的民族，畢達哥拉斯(Pythagoras)學派把善與惡同有限與無限聯系起來;亞里士多德(Aristotle)提出要把潛在的無窮(大)與真實的無窮(大)加以區別，并且認為只存在潛在的無窮大[2].由此可以看出古希臘的數學都回避無限無窮的方法，以免把“惡”的“數學”引進.

在中國古代的數學家看來數學只是一種計算或計量的“術”，它的作用只能被用來解釋具體問題的數量性.于是在想到無窮分割之后，認為直與曲沒有什么區別，至于無窮的存在是否“善”與“惡”是不在中國古代數學家的思考之列的.中國人關注社會實踐，關注數學解決實際，對數學是“善”、是“惡”并不在意.當然對無限(無窮)的使用也就順其自然了.拿《九章算術》來說,里面的二百四十六個數學問題,都是為了解決當時的某些生產實踐活動而提出來的[4].但對由此形成的數學方法、數學理論構成形式并不十分關注.數學家張奠宇教授認為中國古代數學就是一種“管理數學”和“木匠數學”，這種數學觀無法使中國的古代數學形成進一步的理性構建[5].也有的研究的學者認為劉徽的這種思想起源于古代勞動人民用磚砌物的生產實踐.而阿基米德的“窮竭法”與現今我們所用的“兩面夾”證明方法相類似，具有較高的理性思維和邏輯演義論證.在古希臘，數學是哲學家追求真理整體的一部分，因而必須是演繹的.美國數學史學者M·克萊因指出:古希臘的數學家是一種哲學思想的幾何學家，他們從哲學、邏輯的演繹推理中獲得啟發，以宗教哲學為價值取向，深入追究我們可以看到數學在古希臘是一種理性的信仰[5].正是由于對數學的信仰和崇拜，數學所使用的方法、運算的形式都嚴格地受到了限制.所以古希臘人放棄了直觀的無限思維方法，而采用“雙邊夾”的非無限的證明方式.

3 從π的創造中體現的古代中西民族文化

考察中西方對π的計算及其使用方法，討論由此形成的關于無限(無窮)的觀念可以看出古代中西方對數學價值觀存在著很大差異.中國古代的文化傳統主要是儒家文化，儒家文化圈學習者的數學觀比較狹窄，把數學視為一門可計算的學科.因此中國古代數學是“計算”及實用的，即作為一種應用性的技術來解決實際問題，在中國古代的民族文化中數學只是禮、樂、射、御、書、數六藝中的一個技藝.從數學文化學的意義來說，數學作為一種技藝是文化體系中技術的子系統.西方文化的一個重要特征就是古希臘人把數學思維方式、數學的構造模式上升到一種理性精神，這個理性精神后來被基督教吸收，用到對世界的、宗教信仰的思考上[5].在古希臘以及后來的西方文化中，追求非實用的數學理論是一種重要傾向，文化傳統的研究認為，人類的文化系統通常可以分為三個大系統，即精神文化的子系統、組織與制度文化的子系統.技術與生產的子系統.比較而言，數學在古希臘的文化系統中處于理性或信仰的精神子系統[5].而中國古代數學處于技術生產的子系統.縱觀中西和整個人類歷史長河我們可以看到，追求一個理性意義上的構建要比追求實用有更深遠的意義，因為即使數學作為一種理論、方法的形式失去應用以后，它還會依附于精神子系統中的哲學或理性研究模式，在精神、觀念的范疇內傳播.這種精神子系統的傳播，使數學最終會獲得關于自身理論、方法研究的關注，從而形成自身研究發展的新特點.相比之下，中國古代數學作為一種技法，當它在找不到社會的實踐應用之后，就會隨著實用的社會需求消失而衰落、失傳[5].換句話說，在中國文化傳統中超越給定的技藝至用的發展方向的數學最終必然會成為“絕學”.

比較中國與古希臘在圓周率方面的研究，比較這兩個民族研究圓周率的方法，我們可以發現古希臘注重理性構建、注重邏輯體系的數學理論.數學方法在古希臘文明衰落以后，仍然得以保存、發展，并最終以《幾何原本》的形式在世界各種文化中傳播.然而，注重實用、注重自然直觀邏輯思維的中國古代數學就是在中國文化傳統中也沒有構成一種理論體系.(中國古代數學形成的籌算理論，實際在宋元時代之后就逐漸失傳了).由此可見，通過回溯π的歷史，比較研究東西方民族的差異，借鑒和學習西方文化中的理論追求，會把我們中國的數學推向新的發展道路.

[1]錢寶琮.中國數學史[M].北京:科學出版社出版,1964.

[2]M·克萊因.古今數學思想[M].上海:上海科學技術出版社,2002.

[3]孫宏安.中國古代數學思想[M].大連:大連理工大學出版,2008.

[4]李強.祖聰之圓周率產生的歷史條件[J].中國歷史博物館館刊,1987.

[5]王憲昌,劉鵬飛,耿鑫彪.數學文化概論[M].北京:科技出版社,2010.