高等數學教學內容改革探索

趙冠華,王少英,岳 勇

(邯鄲學院 數學系,河北 邯鄲 056005)

高等數學不僅是大學教育階段的一門重要基礎課，也是培養大學生的創新能力和思維素質的重要途徑之一.高等數學在不同學科、不同專業領域中所具有的通用性和基礎性，使之在高校的課程體系中占有十分特殊的地位.高等數學的理論與方法，業已成為當代大學生知識結構中不可或缺的重要組成部分.數學嚴謹的思維方式和解決問題的科學方法，更是他們適應未來社會、具有可持續發展潛力的必備素質和基本能力之一.傳統的高等數學教學體系，內容上要求面面俱到，理論上追求嚴密.隨著我國教育改革的逐步推進，各專業課程設置和教學內容作了相應的調整，提高了對數學教學的要求，但同時縮減了數學教學的課時[1-4].高等數學內容多、課時少的矛盾進一步加劇，使得教師為了完成教學任務和教學進度，對一些重點的應該精講細講的內容不能完全展開講，影響了教學質量和效果.而理論上嚴密、邏輯上嚴謹的要求更是嚴重束縛了教師的手腳，增加了學生學習的難度，從而不可避免地使一些學生對數學課程產生畏難情緒，影響他們的學習興趣和學習效果.當前的高等數學教學改革方興未艾，本文將結合自己的教學實踐，主要針對高等數學的教學內容展開探討.

1 借助幾何直觀，凸現知識內涵，突破解題壁壘

在高等數學的教學過程中，一般都會在講解概念和定理時，介紹他們的幾何意義.若能在傳授知識的基礎上，通過適當的圖例講解，借助幾何直觀，從發現問題、理請概念、避免誤解、領悟方法等多側面、多角度詮釋內容，滲透幾何意識，不但有助于學生深入理解教學內容，便于長時間記憶，而且有助于培養學生發現問題的意識，體現素質教育的本質要求.

柏拉圖曾說過：“上帝永遠在進行幾何化”，這句話對高等數學的教與學兩方面都有啟迪.回顧高等數學的全部內容，幾何直觀幾乎無處不在，譬如函數的極限、復合函數的極限、導數、積分和級數等概念，都有其深刻的幾何背景.閉區間上連續函數的性質、微分中值定理、積分中值定理和格林公式等結論，也與幾何背景密不可分.教師若能認真領悟其中的思想和方法，并內化到教學實踐中，一方面可以從幾何直觀上深化概念、定理的理解，另一方面可以借助幾何直觀找到鑒別概念、運用定理的方法.這樣，不僅會使自己的教學能力有所提高，而且能教給學生發現和認識數學規律的方法，使學生得到更多的益處.

2 適當整合知識，弱化難繁內容，減輕解題負擔

高等數學的教學內容和體系，與社會對數學越來越高的要求之間的矛盾日益突出.為了改變這一現狀，必須對高等數學的教學內容和體系進行調整和優化.近幾年來，已經出版了許多新教材，但是基本上沒有突破原有的邏輯框架，只是做了必要的刪減，從某種意義上來說，并沒有很好地解決高等數學既繁又難的問題.為此，需要在保留核心內容和思想方法的基礎上，做進一步的大膽的探索.多元函數的求導(或偏導)是高等數學的核心內容，但是內容繁雜、方法多樣.在教學過程中，可以借助父子、父女的遺傳關系，形象地闡述和強化復合函數求導的鏈式法則，在有效地化解該知識難點的基礎上，將隱函數和參數方程的求導法一并用鏈式法則予以解決，既可以避免要求學生機械地強記隱函數和參數方程求導法的結論和公式的尷尬，又使多元函數的求導(或偏導)的內容一氣呵成，形成一個順暢的整體.

在傳統的教材上，一般僅有幾處地方用無窮小來解決極限問題，對等價無窮小代換卻一筆帶過，把這一重要的思想和方法給忽略了，使得有些極限問題解決起來很繁，給學生的學習帶來了負擔和一些負面影響.在解題教學過程中，若能加強運用等價無窮小代換的意識，巧用幾個重要的等價無窮小代換，不僅可以解決一些難繁極限問題，而且能領悟和掌握高等數學中的重要思想方法——代換.

掌握這些基本的思想和方法，不但有助于學生深入地理解學習內容，訓練學生一法解多題的能力，而且有助于培養學生的抽象思維能力，增加教學的趣味性和深刻性.

3 講透元素法，教會學生推導公式的方法

授之以魚，不如授之以漁.元素法是運用定積分解決實際問題的重要方法，講透元素法，不僅可以加深學生對定積分概念的理解，而且可以使學生學會自己利用元素法推導公式，領悟利用定積分解決問題的思想和方法.用好元素法，除了能解決教材中所列舉的一系列幾何的度量問題和某些實際問題外[5]，也能巧妙地解決其它的有關問題，并使這些問題化難為易，頗令人驚奇.

在重積分部分中，幾乎所有教材都有這樣一道例題：求兩個等底的圓柱體直交形成的立體體積.教材提供的方法是利用空間圖形的對稱性和累次積分求解，但是要涉及到方程的寫法和積分次序的選取，略顯麻煩.在教學實踐中，可以引導學生利用微元法求解，非常簡潔明了，教學效果也相當不錯.

4 滲透數學建模思想，教會學生將問題數學化的方法

數學應用意識較差的現狀已引起人們的普遍關注.嚴士健先生曾指出：“教材應結合日常生活及其他領域中的問題，舉出更好的例子，以使學生體驗數學教學與生活的聯系，訓練學生應用數學分析問題解決問題的能力，更重要的是讓學生具有應用數學的意識，真正認為數學有用，知道哪些生活、學習或生產問題可以用數學來解決”[6].在教學過程中，滲透數學建模思想是加強數學知識應用意識的不可替代的途徑.不論用數學方法解決哪類實際問題，還是與其他學科相互結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是用數學的語言表述所研究的對象，即建立數學模型.

經典的微積分學理論是近代科學的偉大創造，它的背景包含了前人數學建模的過程，蘊藏著豐富的創新思維的軌跡.可以從費馬在1629年為設計透鏡尋求曲線在一點處的切線的思路入手，沿著數學大師建立開創性的理論模型的足跡，逐步抽象出導數的概念.這樣，借助于生動的史實，使學生感受數學建模的神奇，領略將問題數學化的方法，從而激發學生對數學的熱愛.

習題課是培養學生應用能力的重要環節.在習題課教學中，不應只講授教材設置的習題，應適當選編一些好的實際問題作為示例和作業，讓學生自己建立模型、并用所學數學知識來解決它.比如運用微分學解決有關營銷的經濟學問題，運用積分學做一些實際的測量，運用極值理論求解一些線性規劃問題，運用梯度的性質求解高山速降的最佳路線等等.這樣的教學過程具有實用性、啟發性，其教育價值更大，既加深了學生對數學知識的理解，又強化了學生的數學應用意識.

數學建模幾乎是一切應用數學作為工具去解決實際問題的必然選擇.在掌握一定的數學知識后，在適當的切入點應用所學的數學知識解決或部分解決若干實際問題，不但能使學生認識到數學的重要作用，而且必然會激發學生掌握更多的數學知識的強烈愿望.

數學教師運用合乎實際且行之有效的教學方法是提高教學質量的保障，而依托教學大綱，創造性地選擇教學內容的呈現形式則是提高教學質量的基礎性工作.在教學過程中，只要下工夫對教學內容進行有機的梳理，并以合理的形式組織起來，再輔助以適當的教學方法，必將會收到事半功倍的效果.

[1]王愛云,張燕.高等數學課程建設和教學改革的研究和實踐[J].數學教育學報,2002(2):84-87.

[2]楊宏林,丁占文,田立心.關于高等數學課程教學改革的幾點思考[J].數學教育學報,2004(2.):74-76.

[3]鄭映暢.高等數學教材改革與教學方法的探索[J].西華師范大學學報,2005(3):338-340.

[4]孫風琪.關于高等數學教學改革的某些探討[J].吉林師范大學學報,2005(1):109-110.

[5]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京:高等教育出版社,1996(12).

[6]李薇.談數學建模思想在高等數學教學中的滲透[J].紅河學院學報,2005(3):73-76.