具有連續變量的二階中立型多時滯差分方程的振動性

鄭允利

(徐州生物工程職業技術學院 基礎部,江蘇 徐州 221006)

1 引言

韓振來在文獻[4]中研究了如下具有連續變量的中立型差分方程

△2(x(t)+c(t)x(t-τ))+
p(t)x(t-σ)=0,t≥t0>0

的振動性,其中c(t)、p(t)∈(c[t0,+∞),R+),并給出了該方程振動及差分算子振動的幾個充分條件.但對具有連續變量中立型多時滯差分方程的研究并不多見,而這類方程在實際問題中是常見的,因此,對其進行研究是很有必要的.文中將研究下面一類具有連續變量的二階多時滯中立型差分方程的振動性問題.

(1)

記σ=max{σ1,σ2,…,σm},某函數y(t)稱為方程(1)的解,如果y(t)∈[t0-μ,+∞],μ=max{τ,σ},當t≥t0時,y(t)滿足方程(1)；方程(1)的解稱為振動的,如果它既不最終為正,也不最終為負,否則,稱為非振動的；方程(1)稱為振動的,如果方程(1)的所有解都是振動的.

文中記z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ).

2 基本引理

引理1 若p

證明 設x(t)為方程(1)的最終有界正解,從而z(t)有界.記r=max{τ,σ},則存在t1≥t0,當t≥t1-r時,有x(t)>0.

(2)

否則存在常數t3>t2,有△τz(t3)>0,因此,當i≥1時,有

△τz(t3+iτ)≥△τz(t3)

將上式兩邊對i從1到n求和,得

z(t3+(n+1)τ)≥n△τz(t3)

令n→+∞,有

這與{z(t)}有界矛盾,從而(2)成立.

若{z(t)}最終為負,不妨設存在充分大的t1>t0,使z(t1)<0,記z(t1)=-α,a是正常數,由式(2)得

-α=z(t1)≥z(t1+τ)≥z(t1+2τ)≥…

從而

x(t1+nτ)=z(t1+nτ)+
p(t)x(t1+(n-1)τ)≤-α+x(t1+
(n-1)τ)≤…≤-nα+x(t1)

當n→∞時,x(t1+nτ)→-∞,這與x(t)最終為正矛盾.從而最終有z(t)>0.

引理2 若下列條件成立

(A) 1≤p(t)≤p,

設{x(t)}為方程(1)的最終正解,則最終有

x(t)≥p(t)x(t-τ)≥x(t-τ)

由遞推可得,存在t2>t1及正常數M,使當t>t2時,有x(t)>M,故當t>t2+σ時,有

即

由式(2)得

從而

(3)

取充分大的t3>t2,令t=t3+jτ,j是自然數,由式(3)得

z(t3+jτ)-z(t3+(j-1)τ)+

對上式的j從1到n求和,得

z(t3+nτ)-z(t3)+

再由式(2),當n→+∞時,由上式可得

這與條件(B)矛盾.因此,引理2得證.

3 主要結果

定理1 若0

則方程(1)所有有界解振動.

證明 設{x(t)}為方程(1)的最終有界正解,由引理1得,存在充分大的t1>t0,使得當t>t1時,有z(t)>0,△τz(t)≤0,且z(t)≤x(t).從而, 當t>t1時,有

(4)

(5)

由式(2)和式(5),得

即

z(t-τ)-z(t)≤-

從而當t>t2+jτ時,有

對上式的j從1到k求和,得

(6)

由式(2)得

(7)

由式(6)和式(7),得

于是,有

z(t-(k+1)τ)

即

這與(C)矛盾.當x(t)為最終負解時,同理可證.

定理2 設條件(A)和(B)成立,則方程(1)所有有界解振動.

[1]熊萬民,王志成.具有連續變量的中立型差分方程的振動性[J].湖南大學學報,2001,28(1):8-12.

[2]周勇.具有連續變量的變系數差分方程的振動性[J].經濟數學,1996,13(1):86-89.

[3]黃梅.具有變系數的二階中立型差分方程的有界振動[J].數學理論與應用,2005,25(4):35-37.

[4]韓振來,孫書榮,騰厚山.一類具有連續變量的二階中立型差分方程的振動準則[J].工程數學學報,2005,31(2):237-239.