淺析多元化數學的教育價值及其實現途徑

陳 際 平，李 婷 婷

(陜西師范大學 數學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

數學史是研究數學概念、數學思想和數學方法起源與發展的一門學科。數學史的內容極其豐富，它既是人類對數學知識的認知史，也是數學思想的發展史，同時還是數學發展與社會生產、科技、教育的關系史。隨著新課程改革實踐的探索和深入，數學史中多元化數學的教育價值受到了越來越多教育工作者和教育研究者的關注。將數學史引入課堂教育不單能激發學習興趣，拓展數學認知面，并且能讓學習者了解到多元化的數學，加深對中西方數學發展關聯的認知，促進學習者思維的可持續發展。這也是使數學思維與世界數學前沿學科接軌，健全數學教育體系的途徑。

一、數學史與數學文化

所謂文化，一般是指通過人的活動對自然狀態變革而創造的成果，即一切非自然的、由人類所創造的事物或對象。文化既有人類生存的客觀條件決定的客觀性，也有人類生存的主觀追求決定的主觀性。[1]而數學作為一種描述客觀世界的量化模式，受到客觀世界的制約，具有明顯的客觀性，但數學對象終究不是物質世界中的真實存在，而是人類抽象思維邏輯推理的產物，是一種人為約定的規則系統，顯然數學又具有主觀性。因此，從這個特殊角度對數學進行分析，數學就是一種文化，即數學文化。[2]當然，數學文化作為人類文化系統中一個相對獨立的子系統，它還具有區別于其他一般文化的特點，例如：它具有廣泛的適用性、高度的抽象性和嚴謹性，以及以形式化、符號化和精確簡潔為特點的數學語言等。

新一輪課程改革在課程的功能、結構、內容、乃至設置上發生了重要改變，人們希望能以課程改革作為突破口，進行一次全方位的教育改革，實現應試教育到素質教育的轉變。[3]在數學課程上，此次改革就將數學文化與數學探究、數學建模一起作為重要內容，貫穿于整個新課程之中，并提出了“體現數學的文化價值”的基本理念。這里所說的數學文化價值主要指數學對于人們觀點、精神以及思維方式的養成所起的重要影響。[4]怎樣才能使數學文化有效地滲透到課堂之中，實現數學的文化價值？新課改決定將數學史引入課堂就是一種很好的方式。通過數學史展示數學發展的進程，讓學習者了解到數學發展的客觀規律，以及數學與人類社會發展之間的關系；通過數學史介紹古今中外數學家的奇思妙想和生活軼事，使學習者形成良好的邏輯思維品質，正確的數學觀；通過數學史呈現多元化的數學思想方法，讓學習者思維得到全面發展，學會站在前人的肩膀上以更廣闊的視野看待人類的數學成就。在深化教育改革的今天，我們需要去開發、利用數學史，挖掘并實現數學史的教育價值，探索以數學文化價值為主導的數學教育，為世界數學的發展和傳承貢獻力量。

二、數學史中的多元化數學

數學從來就不是某一個國家、民族或個人的專利，不同時代，不同地域，不同民族之間的文化差異，都會給在其中探索發展起來的數學打上鮮明的文化烙印，形成多元化的數學。譬如，在東西方自古以來文化差異的作用下就形成了東西方兩種不同的數學體系。正如白尚怒先生所說：“所謂東方數學，可以說是以中國數學為代表的數學，具有構造性、程序性、計算性、實用性的特點，從而成為了以計算為主的機械化傾向的數學體系；而西方數學，由古希臘發展起來繼之以西歐數學，具有演繹性、抽象性、理論性、邏輯性的特點，繼而成為以演繹為主的公理化傾向的數學體系。”例如，對同一個問題：“已知a、b、兩數，求其比例中項。”從東西方數學的角度出發就會有兩種不同的解法：東方數學會將此問題歸結為“已知x2=ab求未知數x”的一個開平方運算的程序問題；而西方數學則會將其看作“已知線段a、b，求作線段x使上式成立”的幾何作圖問題，并在得出作法后證明其正確性。[5]

除了古代中國數學和古希臘數學以外，古埃及、巴比倫、古印度以及阿拉伯的數學也都有著各自的特點。下面我們就通過不同時期、不同地域的人們對一元二次方程求解，這同一問題上所使用的不同理論和方法，來體會數學的多元化特點。

繼這些古代文明之后，隨著人類文化的發展與融合，各種數學思想、數學方法、數學形式等也相互交流、融合，但公理化思想和算法化思想在數學發展的歷史長河中此消彼長，使數學的發展仍呈現出多元化的特征。例如，繼漫長的中世紀黑暗之后的文藝復興時期，古希臘數學重新引起了人們的重視，幾何、代數都有了長足的進步，發展了數學自身的方法和理論，也大大推進了古希臘文化中的理性精神。而在十七世紀以后，社會和經濟的巨大發展，促進了數學的快速進步。在這時期人們首先關注的不再是數學的證明方法和理論基礎，而是它在生產技術和自然科學中的應用。特別是微積分產生初期，其問題解決和算法數學的傾向就十分明顯。時至今日，現代數學已形成了眾多類別、若干分支，并且呈現出它既是一門科學理論，又是一門應用技術的多元化特征。[8]

三、多元化數學的教育價值

數學史作為數學文化的重要載體，其教育價值一直是人們研究所關注的領域。在以前相關的研究中，研究的重點主要集中于數學史在激發學生學習動機、培養學生良好人格、擴寬學生視野等方面的作用。現在，隨著這一領域研究的深入和豐富，數學史中多元化數學的教育價值日益被人們所察覺。研究認為數學史中多元化數學的教育價值大致有以下三點：

(一)理解尊重多元文化

在以往的課堂教育中，常常將數學史作為培養愛國熱情與民主自豪感的材料，但我們認為還應該充分利用數學史中多元化數學，開展多元文化教育，讓學習者從中感受到各地域、各民族間的文化差異，從而學會理解尊重多元文化。例如，通過對古代東、西方數學具體史料的學習，應領會到東方數學的實用性、計算性，西方數學的邏輯性、演繹性，并從中了解到東方“經世致用”的傳統思想和西方所崇尚的理性精神。又如，結合歷史思考可以得到，古埃及人之所以能夠通過計算解決一元二次方程，而沒有進行嚴格的演繹論證，是因為古代埃及的各種數學知識和計算方法多是為了解決尼羅河泛濫后土地的測量和食物的分配等問題，都是從日常生活中積累而來的，尚未形成完整的數學體系，它是數學源于生活的典范。而阿拉伯文明是在大量接受希臘、印度文化的基礎上，迅速發展起來的，因此在阿拉伯數學中，我們既能看到希臘式的幾何證明，又能看到東方式的計算技巧，是二者巧妙結合的產物。

其實，通過對多元化數學的學習，理解尊重多元文化并不是我們最終的目的，我們所希望的是在理解尊重多元文化的基礎上，讓學習者學會接受不同的優秀文化，汲取不同的文化精髓。試想一下，如果歐洲數學沒有恢復希臘數學的思想，沒有吸取中國數學的精華，怎能會有現今的如此強大。正是通過各區域、各民族文化、思想的融合與統一，才使得數學得到不斷地發展，才使得人類文化得到不斷地創新與進步。

(二)掌握不同思想方法

數學的思想方法作為數學知識的精髓，是對數學知識的高度總結與概括。這些概括性的知識潛移默化的作用于學習者的思維，不僅能發展他們的數學素養，還能促進他們學習遷移的形成。日本數學教育家米山國藏也說過：“即使學生把所教給的數學知識(概念、定理、法則和公式等)全忘了，銘記在他心中的數學精神、思想和方法卻能使他受益終身?！钡?，數學的思想和方法大都以抽象的形式存在，如何幫助學習者理解掌握，乃至應用這些思想和方法呢？我們認為數學史來自多元時空，多樣化的問題解決方法以及簡練嚴密的推導證明過程，正是學習者掌握不同思想方法的絕好機遇。

將不同數學家們所使用的具有數學美感與創新性的推導方法引入課堂，呈現在學習者面前，不單能豐富教學內容、開拓學習者認知數學世界的視野，最重要的是能讓學習者了解到不同方法的思維過程，培養其全方位思維的能力，對推動世界數學的發展，以及科學技術的進步有著積極的意義。

(三)發展創造性思維

創造性思維，是思維活動的高級過程，是在個人已有經驗的基礎上，發現新事物、創造新方法、解決新問題的思維過程。[10]培養學習者的創造性思維是順應社會發展的需要，是實現素質教育的要求。而不同時空、不同文化、不同數學家對同一問題的解決方法都具有其獨特性與創造性，這能為學習者創造性思維的培養提供豐富的素材。以數學史作為突破口，把數學教育視為一種開發和培養智力的活動，而不僅僅是一些知識或方法的集合，將數學家創造數學真理的思維過程展現在學習者面前，在某種程度上可以改變從公式到公式，從定理到定理的教學模式，進而激發學習者的創造意識，培養創造性思維。[11]

例如，被開普勒譽為幾何學兩大法寶之一的勾股定理，至今已有四百多種證明方法，其中有不少方法就很巧妙。劉徽對勾股定理的證明使用了出入相補的原理，其在《九章算術》中對勾股定理的描述是：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也。合成弦方之冪，開方初之，即弦也?！惫畔ＥD的畢達哥斯(Pythagoras，公元前約569-約前500) 是勾股定理的最早證明者。據傳畢達哥拉斯學派發現并證明了勾股定理之后，當即宰牛百頭祭神，于是后人又稱勾股定理為“百牛定理”。由于他的證明原稿已失傳，人們推測他是通過將兩個相同的正方形進行不同方式的切割來證明的。而歐幾里得(Euclid，公元前330-前270)的證明方法是所有證明中最為著名的，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”，法國人稱之為“驢橋問題”，阿拉伯人稱之為“新娘的座椅”，在歐洲,又有人稱之為“孔雀的尾巴”。除此之外，印度數學家婆什迦羅(Bhaskara，1114-約1185)則是使用了相似三角形對應邊成比例的性質對勾股定理進行了巧妙的證明。

將數學史中的這些精妙的證明方法引入課堂教學，通過對同一問題不同解決方法的呈現，改變了學習者頭腦中“正確答案唯一”的固有模式，發展求異思維，激發思維的多向性，引導他們突破常規，嘗試從新的角度，新的途徑尋求問題解決的方法。使學習者在數學學習中品嘗到創造性思維的樂趣，從而喜歡數學，熱愛數學，并進一步利用數學作為工具去有所創新、有所建樹，推動科技和文化教育的進步。

四、多元化數學教育價值的實現途徑

新一輪課程改革明確要求“數學史選講”專題的內容必須反映出數學發展中不同時代的特點，并且我們也注意到教育部門所提供的參考內容中(早期算術與幾何、古希臘數學、中國古代數學瑰寶、平面解析幾何的產生、微積分的產生、近代數學兩巨星、千古迷題、康托的集合論、隨機思想的發展、算法思想的歷程、中國現代數學的發展 )也涉及到了許多國家，不同時期的數學史實，這體現出此次課程改革對數學史中多元化數學教育價值的重視。那么如何才能在數學教育中體現出多元化數學，并且實現其教育價值呢？在此我們給出了三條基本途徑供商榷。

(一) 系統介紹數學史知識，注重不同思想和文化的對比

系統的介紹數學史知識，可以使學習者了解到數學的主要分支，數學史上重大成果的發展和完善過程，中外著名數學家的重要貢獻和人生經歷,以及數學與人類社會的密切關系等。使得學習者擁有世界視野，并對數學學科的發展脈絡有一個完整的認識，而不是僅僅停留在知道一些數學名人和幾個歷史命題的層面上。在系統介紹的過程中，引導學習者積極思考，對不同時期、不同國界的不同思想和文化進行對比分析顯得尤為重要。

在內容的選擇和編排上要以學習者的知識結構、心理需要為基礎，實現趣味性、教育性與廣泛性的結合，凸顯數學的文化價值。譬如，可以選擇幾何學發展史，即“經驗幾何→演繹幾何→射影幾何→解析幾何”的發展過程作為一個專題。在介紹時要重點突出不同時期幾何學的不同特點。除此之外，在介紹經驗幾何時，通過講解《九章算術》中以三角形的面積代替弓形面積的近似計算方法，讓學習者了解到近似計算的起源和漸進過程，這也為現代數學引入計算機中用有限去表示無限的算法思想奠定了基礎；在介紹演繹幾何時，可以介紹幾何作圖的三大難題，開闊學習者的視野；而在介紹射影幾何時，可以結合達·芬奇的《最后的晚餐》、拉斐爾的《圣母的婚禮》等畫作，展現數學與藝術的關系，激發學習興趣。

(二)滲透數學史內容，突出史料的多時空性

滲透數學史內容，是指以隱性的形式，根據教學需要，恰到好處的融入一些數學史知識，適時的介紹與所學內容有關的數學史材料，以激發學習興趣，促進學習者對數學知識的掌握。而突出史料的多時空性，是指所選取的數學史內容應突破時空局限，力求反映不同時期、不同國度、不同民族、不同文化背景的數學歷史。這樣，通過對數學史的學習不單能更好地理解相關數學知識，而且還能體會到不同的文化、思想與方法，對今后的數學傳承和發展奠定了堅實的基礎。

例如，在等比數列求和公式的教學中，教師除了使用常見的錯位相減法進行公式推導的演示以外，還可以向學習者介紹古埃及紙草書上有關等比數列的問題。這個趣味問題是一位婦人家里有七間屋子，每間屋子里有七只貓，每只貓捉七只老鼠，每只老鼠吃七棵麥穗，每棵麥穗可以長出七斗麥子。問屋子、貓、老鼠等各有多少，總數是多少？這其實是等比數列的求和問題，并且在紙草書上還寫著2801×7 的算式，因此人們猜測古代埃及人可能已經總結出公比為7的等比數列前n項和的遞推關系Sn=(1+Sn-1)×7。通過這段趣聞，可以引導學生將此遞推關系推廣到一般等比數列上，得到一般等比數列的求和公式。除此之外，還可以展示公元前三世紀，古希臘歐幾里得的《幾何原本》里利用比例性質推導得出等比數列求和公式的過程。通過來至古埃及和古希臘的兩個公式推導方法的講解，不單使學習者熟悉了等比數列的求和公式，而且還看到了關于這個公式推導的兩種不同的思想方法。使學習者認識到數學并非枯燥無味，使其體會到學習數學的快樂，并建立生活中處處有數學的理念。

(三)開展探究性學習，體會數學史中的多元文化

探究性學習是此次課程改革大力推廣的一種學習方式，即讓學習者在創設的情景下，圍繞著某個數學問題，自主探究、學習的過程。[12]在探究性學習中，教師只是組織者與指導者，而學習者需要在自己獨立思考的基礎上與他人積極合作，發現問題，提出問題，最后解決問題。探究性學習能使學習者主動的思考問題，加深對知識的理解，養成良好的學習習慣，培養其探索精神。因此對于數學史的學習也可以采取這種方式，可以給學習者提供來源廣泛的數學史史料，并引導其觀察分析這些史料，從中體會多元文化背景對數學的影響，探索不同的數學思想方法，猜測數學發展的規律等，并給出適當的解釋或證明。數學史中有關各文明古國記數符號、計數系統與分數表示等的內容都可以作為探究性學習的素材，讓學習者通過分析與探索發現各區域遠古數學的淵源及各自數學的特點。除此之外，還可以通過對數學史上兩大傳世名著——《九章算術》與《幾何原本》中經典題目的比較，讓學習者體會算法傾向數學與演繹傾向數學的不同特點。

數學是人類文化的重要組成部分，其知識博大精深，奧妙無窮。數學教育不能單純停留在數學理論的層面,而是要指導學習者對數學理論的實質進行深入探究，指引其體會依托于數學知識之上的數學思想和方法，領悟貫穿于數學研究活動中的科學精神和文化底蘊。我們借本文以“拋磚引玉”，希望引起更多數學教育工作者、數學教育研究者、數學教育愛好者對數學史中多元化數學的關注，共同探索實現其價值的有效途徑。

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