基于Matlab液面銀薄膜分形維數(shù)的計(jì)算分析

陳苗根，陳小軍，余森江，焦志偉

（中國(guó)計(jì)量學(xué)院 物理系，浙江 杭州 310018）

基于Matlab液面銀薄膜分形維數(shù)的計(jì)算分析

陳苗根，陳小軍，余森江，焦志偉

（中國(guó)計(jì)量學(xué)院 物理系，浙江 杭州 310018）

利用Matlab數(shù)值分析軟件，將沉積在液體基金的銀薄膜真彩數(shù)值圖像進(jìn)行了二值化處理，并計(jì)算了該銀薄膜的分形盒維數(shù)。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)銀薄膜圖像灰度分布具有雙峰結(jié)構(gòu)。二值化后的圖像計(jì)算得到液體基底金屬銀薄膜的盒維數(shù)大約為1.50，計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果一致。它表明基于Matlab的盒維數(shù)算法用于計(jì)算此類液體基底金屬薄膜的二維分形盒維數(shù)具有較好的準(zhǔn)確性, 同時(shí)也表明其可以用來分析液體基底表面其他金屬薄膜分形維數(shù)。

二值化；分形盒維數(shù)；銀薄膜

1 引言

近年來，分形的研究受到非常廣泛的重視，其原因在于分形既有深刻的理論意義，又有巨大的實(shí)用價(jià)值。分形向人們展示了一類具有標(biāo)度不變對(duì)稱性的新世界，吸引著人們尋求其中可能存在著的新規(guī)律和新特征［1］。而另一方面，分形結(jié)構(gòu)是廣泛存在在制備的金屬薄膜中，引起了人們極大的關(guān)注，成為當(dāng)今的研究熱點(diǎn)之一。因此，我們希望找到一種簡(jiǎn)單可靠的方法并用計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算并分析液體基底表面金屬薄膜［3-5］的分形特征。

計(jì)算薄膜的分形維數(shù)，分形維數(shù)的定義有很多種，為了簡(jiǎn)單方便我們選用計(jì)算起來最為簡(jiǎn)單的盒維數(shù)。在計(jì)算盒維數(shù)之前，一般原圖像都是真彩圖像，這樣的圖像直接處理是不合適的，這就涉及到圖像的灰度處理和二值化，真彩圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖像十分容易，但二值化就較為繁雜了，選擇一種合適的二值化方法是至關(guān)重要的，對(duì)薄膜分形盒維數(shù)結(jié)果有這巨大的影響［2］。二值化圖像的分形盒維數(shù)計(jì)算就方便多了，分形盒維數(shù)的原始定義用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)起來難度很大，但它有一些等價(jià)定義更適合于應(yīng)用。此時(shí)，選用好的算法和一種簡(jiǎn)單的編程語言能使結(jié)果準(zhǔn)確并縮短課題研究的時(shí)間。

2 編程原理和思想

2.1 編程原理

對(duì)實(shí)驗(yàn)用顯微鏡所拍真彩圖像進(jìn)行分形計(jì)算必須要分二步進(jìn)行，分別是圖像二值化處理和分形數(shù)值擬合。這里分形數(shù)值分析采用分形盒維數(shù)方法，兩種方法簡(jiǎn)介如下：

圖像二值化是圖像灰度變換的一種特殊情況，是為了從圖像中抽出對(duì)象形狀的最基本的處理方法［2］。一般我們手中的都是真彩RGB圖像，首先應(yīng)將其顏色成分去掉，獲得灰度圖像。從灰度圖像變換到二值圖像最重要的就是閾值處理。以某一閾值T為界，把圖像的灰度級(jí)轉(zhuǎn)換成0或1的操作就是閾值處理。在閾值處理中最關(guān)鍵的就是確定圖像的閾值，在特殊情況下，閾值T對(duì)整幅都是定值時(shí)，叫做固定閾值處理。

分形盒維數(shù)又稱計(jì)盒維數(shù)［1］，是應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之一，它的普遍應(yīng)用主要是由于這種維數(shù)的數(shù)學(xué)計(jì)算及經(jīng)驗(yàn)估計(jì)相對(duì)容易一些。

設(shè)F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ（F）是直徑最大為δ，可以覆蓋F的集的最少個(gè)數(shù)，則F的下、上盒維數(shù)分別定義為

如果這兩個(gè)值相等，則稱這共同的值為F的盒維數(shù)，記為

盒維數(shù)有一些等價(jià)定義，有時(shí)這些定義更適合應(yīng)用?？紤]Rn中δ-坐標(biāo)網(wǎng)立方體，即下列形式的立方體：

其中m1，…，mn都是整數(shù)，在計(jì)算盒維數(shù)時(shí)，可以等價(jià)地取Nδ（F）為與F相交的邊長(zhǎng)為δ的網(wǎng)立方體的個(gè)數(shù)。

由于計(jì)算機(jī)的像素并不是無限小的，因材，在用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算平面圖像盒維數(shù)時(shí)，可以由函數(shù)logNδ（F）相對(duì)于-logδ圖的斜率來估計(jì)。

2.2 程序流程

本文選擇Matlab軟件作為編程工具，其具有強(qiáng)大的圖像處理和數(shù)值分析功能，對(duì)原始圖像二值化后，用如下類似于文獻(xiàn)6的流程來計(jì)算分形盒維數(shù)：

圖1 盒維數(shù)計(jì)算流程

3 驗(yàn)證及計(jì)算

3.1 程序驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述分形盒維數(shù)計(jì)算方法的正確性，對(duì)一些已知分形維數(shù)的圖形，我們首先對(duì)直線和正方形的分形進(jìn)行了計(jì)算。直線分形盒維數(shù)計(jì)算結(jié)果是1.0078與理論值1.00誤差0.78%，正方形是2.0152與理論值2.00誤差0.76%，如圖2。我們對(duì)Koch雪花曲線和Sierpinki地毯也進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果顯示koch曲線是1.2613，與理論值1.2618誤差0.039%，Sierpinki地毯是1.8930，與理論值1.8928誤差0.0106%，如圖3。以上驗(yàn)證結(jié)果說明基于Matlab環(huán)境下，該程序的分形盒維數(shù)計(jì)算是相當(dāng)準(zhǔn)確和穩(wěn)定的。

圖2 直線和正方形的分形擬合曲線

圖3 Koch雪花和Sierpinki地毯的分形擬合曲線

3.2 銀薄膜圖片二值化及分形維數(shù)計(jì)算

圖4a顯示了一張典型的液體基底表面銀薄膜的灰度圖像，圖4b是圖4a的灰度級(jí)分布圖，從中可以看出其圖像其具有明顯的雙峰結(jié)構(gòu)，第一峰為圖4a顯灰色液體基底格點(diǎn)數(shù)（灰度值為100左右），第二峰為圖4a顯白色的銀薄膜的格點(diǎn)數(shù)（灰度值為255左右）。該結(jié)果說明了該銀薄膜與液體基底有明顯的對(duì)比灰度，也說明了采用光學(xué)顯微鏡可以準(zhǔn)確地分辯銀薄膜和液體基底。

然后，我們將閾值設(shè)定在雙峰之間的合適值，這里將閾值設(shè)定為175（即灰度值為175），將銀薄膜的灰度圖像二值化。二值化后的圖像如圖4c所示。最后，我們根據(jù)圖1流程圖計(jì)算得到該液體基底表面銀薄膜分形維數(shù)大約為1.50，如圖4d。該計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)［4］的結(jié)果一致，也說明了該算法可用于計(jì)算此類液體基底表面金屬薄膜具有較好的準(zhǔn)確性，預(yù)示著可以用來計(jì)算液體基底表面其他金屬薄膜如銅薄膜［5］，鐵薄膜［6］等分形維數(shù)。

圖4 液面銀薄膜及其分形維數(shù)

4 結(jié)論

1）用直線、正方形、Koch曲線和Sierpinki地毯驗(yàn)證表明用Matlab編程計(jì)算分形盒維數(shù)是足夠準(zhǔn)確的。

2）液體表面銀薄膜的灰度級(jí)具有雙峰結(jié)構(gòu)。計(jì)算結(jié)果說明了采用光學(xué)顯微鏡可以準(zhǔn)確地分辯銀薄膜和液體基底。

3）液體表面銀薄膜的分形維數(shù)大約為1.50，計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果一致，表明該算法用于計(jì)算此類液體基底表面金屬薄膜的二維分形盒維數(shù)具有較好的準(zhǔn)確性。

［1］張濟(jì)忠.分形［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1995，122-127.

［2］高木干雄，下田陽久主編，孫衛(wèi)東等譯.圖像處理技術(shù)手冊(cè)［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.1227-1229.

［3］Gao-Xiang Ye，Thomas Michely，Volker Weidenhof，Inés Friedrich，Matthias Wuttig，Nucleation，Growth，and Aggregation of Ag Clusters on Liquid Surfaces，Phys.Rev.Lett. ［J］，1998，81，622.

［4］Miao-Gen Chen，Jian-Ping Xie，Gao-Xiang Ye，F(xiàn)ormation mechanism and ordered patterns in Cu films deposited on silicone oil surfaces，Phys.Lett.A ［J］，2006，360，323.

［5］Quan-Lin Ye，Sen-Jiang Yu，Jin-Sheng Jin，Gao-Xiang Ye，F(xiàn)ormation mechanism and orderly structures of an iron film system deposited on silicone oil surfaces，Chin.Phys.Lett.［J］，2003，20，1109.

［6］楊書申，邵龍義，MATLAB 環(huán)境下圖像分形維數(shù)的計(jì)算［J］.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，35（4），478.

An Analysis of Fractal Dimensions of Silver Films on Liquid Substrates Based on Matlab

CHEN Miao-gen，CHEN Xiao-jun，YU Sen-jiang，JIAO Zhi-wei
(Department of Physics,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

Based on the Matlab data analysis software,we binarizate the color image of the silver films deposited on the liquid substrates firstly,and then calculate the fractal box dimension.It is found that there are two peaks in the gray scale distribution of the image of the silver film. The fractal box dimension of the silver films on the liquid substrates is about 1.50,which is consistent with the reference reported before.It indicates that the program of the fractal box dimension based on the Matlab has good accuracy and it can be used to analyze other metal films on the liquid substrates.

image binarization;fractal box dimension;silver films

周小莉）

O484.1

A

1672-3708（2011）03-0020-05

2011-04-08；

2011-06-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10802083）、浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（Y6090542）

陳苗根（1981- ），男，浙江玉環(huán)人，博士，副教授，主要從事薄膜物理研究。