線性空間直和分解定理的推廣及應用

李毛親

（臺州學院 數學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

線性空間直和分解定理的推廣及應用

李毛親

（臺州學院 數學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

把高等代數中線性空間的直和分解定理推廣到一般情形.對于n維線性空間V上線性變換A的任一個化零多項式f（x），若f（x）為若干個兩兩互素的多項式的乘積，則線性空間V可以相應地分解成有限個A的不變子空間的直和.一些應用實例被給出.

線性空間；直和分解；多項式互素

在高等代數中，線性空間的直和分解定理是一個非常重要的定理，是研究矩陣對角化和Jordan標準形的理論基礎.［1］中的直和分解定理如下：

定理1［1］設V是數域P上的n維線性空間，V上的線性變換A的特征多項式f（x）可以分解成互異的一次因式方冪的乘積

則V可以分解成s個A的不變子空間的直和

多項式g（x）稱為線性變換A的化零多項式，若g（A）＝0.我們把定理1推廣到A的任意化零多項式上去.

定理2 設V是數域P上的n維線性空間，若V上的線性變換A的化零多項式f（x）=f1（x）f2（x）…fs（x），f1，f2，…，fs兩兩互素，則V可以分解成s個A的不變子空間的直和

為證明該定理，我們首先給出兩個引理，這兩個引理除了在證明該定理時起重要作用外，本身也是重要的結論.

引理 1 設 f（x）=f1（x）f2（x）…fs（x），f1，f2，…，fs兩兩互素，則 g1，g2，…，gs互素，

證明 設（g1，g2，…，gs）＝d（x），考慮 d（x）/g1（x），由于 g1=f2…fs，若 d（x）≠1，可設 p（x）是 d（x）的一個不可約因式，由 p（x）/f2…fs可知，p（x）至少整除其中之一，不妨假設 p（x）|f2（x），考慮到 p（x）是 g1，g2，…，gs的一個公因式，得 p（x）|g2（x），于是 p（x）是 f2（x）和 g2（x）的公因式，但（f2（x），g2（x））=1，矛盾.所以 d（x）=1.

證明 對 Aα∈Ker fi（A），由于（fi（x），gi（x））=1，存在 P 上的多項式 ui（x），vi（x）使得

于是 ui（A）fi（A）α+vi（A）gi（A）α=α，由 fi（A）α=0，得

另一方面，對 Aα∈Imgi（A），存在 β∈V，使得 α=gi（A）β，fi（A）α=fi（A）gi（A）β＝f（A）β＝0，所以 α∈Kerfi（A），得

同理可以證明 Ker gi（A）=Im fi（A），i=1，2，…，s.

下面我們證明定理2.

證明 由引理 1，g1，g2，…，gs互素，存在多項式 u1，u2，…，us使得

所以對 α∈V，α=g1（A）u1（A）α+g2（A）u2（A）α+…+gs（A）us（A）α∈V1+V2+…+Vs.

再證明0向量的表示法唯一：

設 0=α1+α2+…+αs，αi∈Vi，i=1，2，…，s，則存在 βi∈Vi，使得 αi＝gi（A）βi，對等式 0=α1+α2+…+αs兩端用gi（A）作用，由 gi（A）αj=gi（A）gj（A）βj=0（j≠i）得 gi（A）αi=0.再由引理 2 的（1）式可知，

所以，零向量表示法唯一，于是有

由于 gi（A）與 A 可交換，所以 Vi都是 A 的不變子空間，i=1，2，…，s.

下面的兩個例子都是s=2時定理2的應用.

例1 設A是n維線性空間V上的冪等變換，A2=A，則

（1）V=Ker A+Im A＝W0+W1，其中Wλ為A的屬于特征值λ的特征子空間；

（2）Aα∈Im A，Aα=α.

證明 （1）令 f（x）＝x2-x，f1（x）＝x，f2（x）＝x-1，則 f（x）＝f1（x）f2（x），且 f1（x）與 f2（x）互素，f（A）＝0，由定理 2，V=V1+V2，其中 V1＝Ker f1（A）＝Im f2（A），V2＝Ker f2（A）＝Im f1（A）.由于 f1（A）＝A，所以 V=Ker A+Im A.又V1=Ker A＝{α∈V|Aα=0}=W0，V2=Ker（A-E）＝{α∈V|Aα=0}=W1，所以 V=W0+W1.

（2）對 Aα∈Im A，由于 Ker（A-E）＝Im A=V2，得（A-E）α=0，Aα=Eα=α.

用完全類似的方法，我們可以得到對合變換的相關結論.

例2 設A是n維線性空間V上的對合變換，A2=E，則V=W1+W-1，其中Wλ為A的屬于特征值λ的特征子空間.

證明 設 f（x）＝x2-1，f1（x）＝x-1，f2（x）＝x+1，則 f（x）＝f1（x）f2（x），且 f1（x）與 f2（x）互素，f（A）＝0，由定理 2，V=V1+V2，其中 V1＝Ker f1（A）＝Im f2（A），V2＝Ker f2（A）＝Im f1（A），且

所以，V=W1+W-1.

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003：309-311.

Generalized Theorem of Direct Sum Decomposition of a Linear Space and its Application

LI Mao-qin
(School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China)

In this paper,theorem of direct sum decomposition of a linear space in advanced Algebra is generalized.For any Annihilating polynomial f(x)of a linear transformation A,if f(x)is a product of finite mutually prime polynomials,linear space V could be decomposed into a direct sum of finite A-subspaces.Some applied examples are given.

linear space;direct sum decomposition;relatively prime of polynomials

耿繼祥）

O151.2

A

1672-3708（2011）03-0001-02

2010-12-20

臺州學院培育基金（2010PY011）.

李毛親（1958- ），女，山西太原人，碩士，副教授，研究方向：應用數學及教學研究.

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