淺談高等數學教學創新思維

摘 要:本文就辨證邏輯思維是微積分的思維方法的主要力量，高等數學教學理應重視辨證邏輯思維，自覺運用唯物辨證法作指導，才能讓學生深刻領會微積分思想方法的精髓和實質。

關鍵詞:微積分 辯證法 邏輯思維

中圖分類號:O13-4文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)02(c)-0152-01

1 微積分學習中的問題

就微積分是關于“無限數學”的科學，“無限”概念本屬哲學范疇，處理“無限”問題，必須講有限與無限的辯證關系，因此，微積分是數學思維與哲學辯證思維交互作用的產物，它以嚴格的形式邏輯和精確的數學語言表達了宇宙運動變化規律。由于微積分是形式邏輯體系，其辯證邏輯蘊含于形式邏輯體系之中，這就給微積分思想方法的教與學增加了難度，微積分解決問題時常常使用常量與變量互易方法，但運用形式邏輯思維也同樣無法理解的。總之，他們明顯覺得學習高等數學與學習初等數學的思維方法有別，但知其然而不知其所以然。

那么，作為教師，我們如何讓學生領悟其中的辯證思想，充分發揮微積分學在科學世界觀與方法論形成中的作用。筆者認為，微積分思想方法的教學，關鍵是要讓學生掌握辯證邏輯思維這把鑰匙。

2 形式邏輯思維與辯證邏輯思維的區別與連系

數學是在邏輯范圍內活動的，數學邏輯包括形式邏輯與辯證邏輯。形式邏輯它以思維形式結構及其規律性為其主要研究對象。

辯證邏輯思維規律與形式邏輯思維規律的關系是“前者是高級的思維規律，后者是低級的思維規律。”辯證邏輯思維規律是以形式邏輯思維規律為基礎的，辯證邏輯思維規律是動態下的邏輯思維規律，而動態是由一個個靜態組成的，由靜態所表現和度量的，因而辯證邏輯思維規律在相對靜態下時，就變成了靜態下的形式邏輯思維規律了。形式邏輯思維規律是辯證邏輯從動態到靜態后的有機的一環。

微積分學科的建立和發展，雖離不開形式邏輯這個使數學保持自身健康的衛生規則，然而微積分學一些重大的、原創性的思想方法的獲得是源于形式邏輯思維以外的辯證邏輯思維。這是因為“形式邏輯只承認既得的概念、判斷和推理的方式，只研究這些概念、判斷和推理是否符合邏輯規則，辯證邏輯則把概念、推理、判斷都看作是一種運動著的東西，”辯證邏輯認為概念還在發展變化之中。

3 微積分中辯證邏輯思維的運用及作用

透過微積分解決問題時常常使用而且特別有效的方法—常量與變量互易法，從中領悟它所遵從的辯證邏輯思維規律。

3.1 變動上限的定積分產生由來

設在區間上連續，并設為上的一點，考察在部分區間上的定積分。首先，由于在上連續，因此這個定積分存在，這時既表示定積分上限，又表示積分變量，由于定積分與積分變量的符號無關，所以，為了明確起見，把作為積分變量的改用其它符號，例如用表示，則上面的定積分可以寫成:。

按定積分概念，積分限原本是確定的量，在此卻改為變量;定積分本質是一個數值，但在此卻表示一個函數;在同一個表示式中具有變與不變二重性，而且把作為積分上限的和作為積分變量的視為兩個獨立的量，這正是辯證邏輯思維所具有的特征與靈活性。把定積分的概念擴展到變上限的定積分，這是在概念的運動、變化、聯系、對立統一中把握概念，是運用辯證邏輯思維正確反映客觀世界的表現。

變上限定積分表明，定積分不僅只是一種計算工具，而且可以作為函數的一種表現形式，從而開始了定積分作為兼具“計算”與“表現”雙重職能的數學工具的歷史，把函數的研究由初等函數范圍推廣到用積分表示的各種非初等函數的范圍。

3.2 重積分和三重積分的計算策略

在直角坐標系下化重積分為累計積分，先是固定一個變量，不妨先固定得:，再讓變為任意的得:，最后對積分得:。運算中把一會兒看成常量，一會兒又看成變量，無疑體現了辯證邏輯思維的靈活性。

3.3 求導函數和求偏導函數的策略

(1)求導函數。

其中，涉及兩個變量和，極限過程是把看作常量，是變量，當極限過程完成后得到，這時又把看成了變量。

例如求導。

先令，則

再換為，即的導函數為。求導時把看成常數，求導后又看成變量，這實際上是一種辯證邏輯思維。

特別值得一提的是，瞬時速度它本身是一個矛盾體。速度是表征質點運動快慢的物理量，如果沒有時間間隔(即瞬時)，質點就無法運動，從而也無法體現速度，而瞬時速度恰恰是沒有時間的速度，這就是矛盾。解決矛盾只有運用辯證邏輯(因為辯證邏輯具有聯系內容的特征)，先給一個時間間隔，這樣使運動成為可能，時間從變到，路程改變量為，暫時讓固定，應用勻速運動公式得時間段內的平均速度為，最后抹去時間間隔造成的影響，即令，取極限便得瞬時速度為。

(2)求偏導函數時，變量看作常量，而在整個函數和中，本身卻是變量。因此體現了變的一面，又有相對的暫時的不變性。有所為而有所不為的這種運算“戰略”，本質上就是一種辯證邏輯思維。

以上數例，充分說明理解微積分思想方法必須要運用辯證邏輯思維;同時也不難體味辯證邏輯思維是微積分思想方法的主要力量，辯證邏輯思維的確對推動微積分學科發展起了巨大作用。

4 微積分教學要重視辯證邏輯思維

微積分思想方法的精髓是微元分析法。

微積分中到處充滿著矛盾，諸如直與曲、均勻與非均勻、變與不變、靜止與運動、靜態與動態、有限與無限、常量與變量、離散與連續、近似與精確、收斂與發散等等，這些矛盾滲透在微積分的每個概念之中，只有站在唯物辯證法的高度，運用矛盾分析法和辯證邏輯思維，才能深刻地揭示矛盾運動，認識和理解微積分思想方法的深度。

微積分中的所有靜態的表達都是來自對變化的動態的考察，我們要善于向學生揭示矛盾，要善于洞察教科書形式邏輯表達的背后的辯證邏輯，要幫助學生弄清辯證邏輯思維的概念與特征。

總之，教師要自覺地運用唯物辯證法指導教學，讓學生從哲學視角能夠清晰地把握微積分思想和體系的脈搏，深刻地領會微積分思想方法的精髓，更使得用哲學的觀點認識微積分和微積分方法成為學生數學知識的一個組成部分。

參考文獻

[1]白其崢.數學方法論與數學教育[J].山西高教研究，2002.

[2]黎琳.“高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”述評[J].高等理科教育，2004.

[3]呂明奎.更新數學教學觀念推進學科素質教育[J].數學教育，2005.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文