從2010年合肥“四模”文科數(shù)學(xué)最后一題談

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)是自然學(xué)科的基石，推理要有理有據(jù)，正因為每步的推導(dǎo)都很嚴(yán)密，有時就會禁錮了我們的思維發(fā)展，讓解題過程中斷，但在從條件到結(jié)論這一嚴(yán)密推理轉(zhuǎn)化過程之前，直覺卻往往能告訴我們解題的方向與切入口，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視邏輯思維的培養(yǎng)還要關(guān)注數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)，本人根據(jù)長期教學(xué)與解題實踐中的點滴心得體會，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中的直覺的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 直覺思維能力 類比特殊化

2010年合肥市高三調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試卷（文）第21題：

已知平面直角坐標(biāo)系中點A（0，-1）及⊙B：x2+（y-1）2=16又⊙B上任意一點Q將坐標(biāo)平面折疊，使A與Q兩點重合，此時折痕與直線BQ相交于P點。

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）過動點P作⊙C：x2+y2-y/2 =0的兩條切線PM、PN切點為M、N，求|MN|的最小值。

本題第一小題利用垂直平分線定理不難得到動點P的軌跡滿足橢圓的第一定義，其難度系數(shù)是0.6，但是因為是最后一題，學(xué)生在前面的題目解答中消耗了大量的時間與精力，實際第一小題得分率較低。第二小題的解法又不同于我們平時教學(xué)過程中的常規(guī)解法——所求問題是連接切點M、N，線段MN的長，應(yīng)設(shè)切點的坐標(biāo)，然后利用切點坐標(biāo)來表達(dá)|MN|，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)來求最小值。即使利用切點M、N的坐標(biāo)來表達(dá)，這個表達(dá)式中也離不開動點P的坐標(biāo)，在這種情況下由于參數(shù)太多也很難轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，解起來使人感覺進(jìn)入迷宮，感覺不到本題的切入口在哪里，結(jié)合本題條件①定圓⊙C在動點P的軌跡方程的內(nèi)部，②過動點P作⊙C的兩條切線，切點為M、N，③弦MN的長短應(yīng)該與MN兩點在⊙C應(yīng)該有關(guān)，綜合本題這三個條件不妨直觀感覺一下，如圖：

不難給我們的感覺就是兩個切點M、N之間的距離與OP的距離有關(guān)，當(dāng)動點P從P1到P2再到P3；切點M、N分別逐漸向⊙C的上部與下部移動，從M1N1到M2N2再到M3N3整個過程的變化關(guān)系是OP增大，線段MN的長就增大，OP=r，|MN|=0；OP→∞，|MN|→2r。

本題要求|MN|的最小值，由此可見本題應(yīng)該在動點P的軌跡圖形上找到定圓⊙C的圓心C（0，1/4）最近的點，所以本題直覺指導(dǎo)我們要解本題的關(guān)鍵是應(yīng)該找MN與OP的關(guān)系，從而從直覺思維轉(zhuǎn)化到邏輯思維，具體步驟是（1）線段MN的長與OP的長的數(shù)量關(guān)系；（2）動點P的軌跡圖形上找到定圓⊙C的圓心C的距離數(shù)量關(guān)系。

數(shù)學(xué)直覺是依據(jù)某些數(shù)學(xué)知識和已知事實，對未知量及其關(guān)系做出的推斷，是科學(xué)假說在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，是一種探索性思維。通過觀察、聯(lián)想、類比、特殊化等方法，憑直覺進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，然后加以驗證，數(shù)學(xué)直覺在解題時有利于我們把握問題的全局，“預(yù)見結(jié)論，途徑便可以有的放矢”，所以，加強(qiáng)數(shù)學(xué)猜想的訓(xùn)練對提高學(xué)生的直覺思維能力是十分有益的。因此，在給學(xué)生分析實際數(shù)學(xué)問題時，教師不妨向?qū)W生剖析自己的解題心理，曾經(jīng)對問題所作的猜測，以此開啟學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生憑敏銳的直覺、深刻的洞察力進(jìn)行大膽猜測。

數(shù)學(xué)探究——猜想——驗證型題的教學(xué)，關(guān)鍵在于讓學(xué)生獨立自主的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)個人獨立學(xué)習(xí)活動，教師加以引導(dǎo)，師生共同探究教學(xué)規(guī)律、原理。其基本教學(xué)程序可以這樣設(shè)計：創(chuàng)設(shè)情境，提出課題——引出假設(shè)或猜想——探究、驗證——歸納總結(jié)——應(yīng)用提高。這就要求教師在日常的教學(xué)活動中，有意識的、堅持不懈地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力，這在深入推進(jìn)二期課改，提倡素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的今天，顯得尤為重要。本人膚淺的認(rèn)為在以后的教學(xué)中應(yīng)該做到如下幾點：

一、加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，提高學(xué)生的直覺分析能力

數(shù)學(xué)直覺是人腦對數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的敏銳的想象和迅速的判斷，而這種想象和判斷往往要依靠過去的知識經(jīng)驗以及對有關(guān)知識本質(zhì)的認(rèn)識，達(dá)到從整體上把握問題的實質(zhì)，進(jìn)而分析問題、解決問題，因此學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本方法是培養(yǎng)直覺分析能力的基礎(chǔ)，扎實的基礎(chǔ)為直覺分析能力提供了源泉。

如在教學(xué)直線與圓錐曲線的問題時，舉了一道常見的例題：

設(shè)直線l：y=kx-1與雙曲線x2-3y2=1交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好過原點，求k的值。

通過對問題的分析后，很多學(xué)生馬上想到OA⊥OB，這一初中知識為解此題提供了直覺的源泉，緊接著學(xué)生的思維便活躍起來，順理成章地便設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2+y1y2=0。這一形式的出現(xiàn)使學(xué)生意識到，只需將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去y和x運(yùn)用韋達(dá)定理代入上式即可，仔細(xì)觀察又可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化為，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，所以只需消去y，由上可以得到關(guān)于k的方程，從而解出k的值。通過“韋達(dá)定理”法，學(xué)生輕而易舉地解決了問題。中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多這樣的方法，如：待定系數(shù)法、配方法、三角法、解析法等。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意把數(shù)學(xué)知識所揭示的本質(zhì)規(guī)律提煉到方法的高度，這樣有助于學(xué)生對知識和方法的真正理解和掌握，也為直覺分析能力打下牢固的基礎(chǔ)。

二、運(yùn)用直觀形象圖形的教學(xué)，提高學(xué)生的直覺感知能力

圖形直觀容易形清晰的視覺表象，可以表達(dá)較多的具體思維，笛卡兒曾經(jīng)說過：“沒有任何東西比幾何圖形更印入腦際了，因此，用這種方式表達(dá)事物是十分有益的。”我們在學(xué)習(xí)一個抽象的概念時，若把最本質(zhì)的屬性用恰當(dāng)?shù)膱D示，就會產(chǎn)生意想不到的效果。如在學(xué)習(xí)集合運(yùn)算時，常配以文氏圖說明，通過數(shù)形結(jié)合使學(xué)生較深刻地掌握集合運(yùn)算的概念，這要比僅給出抽象符號的定義好得多。又如，在教三角函數(shù)時，讓學(xué)生牢記各種三角函數(shù)的圖象，因為圖象直觀形象地反映了函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、極值等性質(zhì)。在數(shù)學(xué)的解題中，由數(shù)思形，可以開辟多角度、多層次的解題思維途徑，就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，其內(nèi)容反映為“數(shù)”與“形”兩個方面，尤其是在立體幾何的教學(xué)中，更是要求學(xué)生做到時時刻刻心中有圖形，因為通過圖形的觀察可增強(qiáng)學(xué)生的想象力，促使學(xué)生產(chǎn)生接近于實際的直覺猜想，提高直覺感知能力。

三、重視選擇題、開放性問題的教學(xué)，提高學(xué)生的直覺判斷能力

教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺思維。例如在高三數(shù)學(xué)的教學(xué)中，經(jīng)常設(shè)計一些憑直覺判斷就能解答的選擇題。對高三的學(xué)生來說，掌握解答選擇題的技巧是至關(guān)重要的，由于選擇題的答案只要求從四個選擇項中挑選出來，省略了解題過程，容許合理的猜想判斷，這種方法很受學(xué)生的歡迎，同時加快了解題速度，更有利于直覺思維的發(fā)展。

另外在普通高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，實施開放性問題的教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。例如在復(fù)習(xí)三角比時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對角的終邊比較模糊，于是便提問了這樣一個問題：寫出“角α與角β的終邊重合”的一個（1）必要但不充分條件；（2）充分但不必要條件；（3）充要條件。由于這種開放性問題的條件和結(jié)論不夠明確，學(xué)生可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，而且答案具有發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。