淺談數(shù)學(xué)中的聯(lián)想

解題是數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路。解題途徑的探求，是一種積極活躍的綜合性的思維過(guò)程。不同的解題指導(dǎo)思想往往會(huì)有不同的解題效果。因此在處理一些問(wèn)題時(shí)，通過(guò)聯(lián)想，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)的遷移，就會(huì)很容易解決問(wèn)題。正如考試大綱對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查中提出的：檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同的情境中去的能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。

所謂的聯(lián)想就是從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理活動(dòng)，即尋找一個(gè)我們熟悉的相似問(wèn)題，或者找到與題目接近的原理、方法，變通運(yùn)用這些知識(shí)，看能否解決問(wèn)題。因此，聯(lián)想在加強(qiáng)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)之間的綜合學(xué)習(xí)，靈活變通，互相滲透，相互為用中啟著重要作用。

1.通過(guò)聯(lián)想使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

在解題時(shí)，我們力爭(zhēng)找到一個(gè)最簡(jiǎn)單的方法去解決問(wèn)題，對(duì)于某些問(wèn)題如果認(rèn)真考察，合理聯(lián)想，將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

[例1] 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（ ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 雙曲線 D. 拋物線

分析：若按常規(guī)思維：平方去根號(hào)和絕對(duì)值，很快發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)xy，思維受阻，陷于困境。

若能從 聯(lián)想到兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距離公式 ，從 聯(lián)想到點(diǎn)（x，y）到直線Ax+By+C=0

的距離公式 ，那么此題很快擺脫困境，由拋物線定義得出答案選擇D。

[例2] 已知a是常數(shù)， ，且 ，判斷 是否是周期函數(shù)，若是，求出它的一個(gè)周期，若不是，說(shuō)明理由。

分析：如果能由

的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到 ；由于 的周期為 ，可求出 的周期為4a，只需證明

即可。

2.通過(guò)聯(lián)想拓展學(xué)生的思維

通過(guò)聯(lián)想，可以幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法，并且為學(xué)生解決類似問(wèn)題提供寶貴經(jīng)驗(yàn)，也拓展了學(xué)生的思維。

[例3] 已知橢圓 （a＞ b＞0）的兩焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2 （c，0），P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使

（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）求QF2的中點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：（1）由P是橢圓上任一點(diǎn)，聯(lián)想到橢圓的定義，于是

，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓。其方程為： 。

（2）由于M是QF2的中點(diǎn)，聯(lián)想到M點(diǎn)的軌跡必與Q點(diǎn)軌跡密切相關(guān)。設(shè)M（x，y），Q（x0，y0），則x0=2x-c，y0=2y，再把Q（2x-c，2y）代入 ，整理得：x2+y2=a2。

此題此題到此解完，但對(duì)于第（2）題：連接OM，若能聯(lián)想到三角形中位線的性質(zhì)，本小題將很快得以解決。

若給出例3后，再請(qǐng)學(xué)生完成下題，將會(huì)發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生從例3中得到啟示，通過(guò)聯(lián)想，得出答案，使學(xué)生思維得到拓展。

[例4] 設(shè)雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系是（ ）

A. 相交 B. 相切

C. 相離 D. 不能確定

分析：由于P是雙曲線上任一點(diǎn)，聯(lián)想到雙曲線的定義，可得到

（P在雙曲線左支上，除點(diǎn)A1位置外），或 （P在雙曲線右支上，除點(diǎn)A2位置外），通過(guò)三角形中位線性質(zhì)聯(lián)想到圓心距

，很容易得出答案，對(duì)P在兩頂點(diǎn)位置時(shí)也成立，選擇B。

3.扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是產(chǎn)生聯(lián)想的前提

解題時(shí)要產(chǎn)生聯(lián)想，必須有熟悉的原理、方法和相似問(wèn)題作為前提。

[例5]在△ABC中，BC=6，AB+AC=10，則△ABC面積的最大值是（ ）。

A. 24 B. 12 C. 6 D. 3

分析：解這一題應(yīng)以橢圓的定義為基礎(chǔ)，聯(lián)想得到點(diǎn)A的軌跡，很快得出答案選擇B，其中橢圓的定義這一知識(shí)點(diǎn)必須熟悉。

4.在平時(shí)教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生合理發(fā)揮聯(lián)想

在人類歷史上，有無(wú)數(shù)的發(fā)明創(chuàng)造都是從聯(lián)想開始的，無(wú)數(shù)的新知識(shí)都是在聯(lián)想中產(chǎn)生的。在平時(shí)的解題中，善于聯(lián)想，并且要合理的去聯(lián)想，對(duì)提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力大有益處。

（作者單位：安徽省肥東縣撮鎮(zhèn)中學(xué)）