簡單線性與非線性規(guī)劃高考試題及解法特點(diǎn)

簡單線性規(guī)劃是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材中的新增內(nèi)容，縱觀近幾年的高考試題，線性規(guī)劃的試題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，但部分省市已出現(xiàn)大題。近幾年高考試題中，除了簡單線性規(guī)劃問題以外，非線性規(guī)劃問題也越來越受到命題者的青睞。簡單線性規(guī)劃與簡單非線性規(guī)劃問題具有很好的考查學(xué)生作圖、識圖、用圖的能力，分析問題和解決問題能力，正在成為一個高考必考知識點(diǎn)。研究近年各地高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)這部分高考題大致有以下類型。

一、近五年高考試題中的線性規(guī)劃問題類型

近幾年高考試題中，簡單線性規(guī)劃與簡單非線性規(guī)劃問題多以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，2010年廣東省高考試題中的理科19題為簡單線性規(guī)劃解答題。近幾年簡單線性規(guī)劃與簡單非線性規(guī)劃問題的類型主要有簡單線性規(guī)劃型、構(gòu)圖型、面積型、簡單非線性規(guī)劃型、線性規(guī)劃應(yīng)用型等。

【例1】（2007天津理）設(shè)變量x，y滿足約束條件：

x-y≥-1

x+y≥1

3x-y＜3

則目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值為 （ ）

A. 4 B. 11 C. 12 D. 14

命題意圖：考查不等式中的線性規(guī)劃，在約束條件下的最值的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想。

【例2】（2008北京理）若實(shí)數(shù)x，y滿足

則 的最小值是（ ）

A. 0 B. 1 C. D. 9

命題意圖：考查不等式中的線性規(guī)劃，在約束條件下的最值的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想。

二、線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題的常見類型及圖解法

1.類型一：構(gòu)圖型

這類問題通常是由可行域構(gòu)成三角形、四邊形等平面幾何圖形，或由所構(gòu)圖形來求參數(shù)的范圍。

【例1】（2009北京文）設(shè)D是正 及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn) 是 的中心。若集合 ，

則集合S表示的平面區(qū)域是（ ）

A. 三角形區(qū)域 B. 四邊形區(qū)域

C. 五邊形區(qū)域 D. 六邊形區(qū)域

解析：由已知條件可知，P點(diǎn)在直線l1的下方，在直線l2、直線l3的上方，故構(gòu)成六邊形區(qū)域，選D。

2.類型二：目標(biāo)函數(shù)為Z=Ax+ By +C的線性規(guī)劃型

這類問題通常分為三種設(shè)問方式：其一，求目標(biāo)函數(shù)Z=Ax+By +C的最值或范圍；其二，由目標(biāo)函數(shù)Z=Ax+By+C最值的取得，求最優(yōu)解；其三由目標(biāo)函數(shù)Z=Ax+By+C最值的取得，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)值或參數(shù)的范圍。

【例2】（2011安徽理）設(shè)變量x，y滿足|x|+|y|≤1，則x+2y的最大值和最小值分別為（ ）

解析：不等式|x|+|y|≤1對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（0，-1），（0，1）時，分別取最小或最大值，所以x+2y的最大值和最小值分別為 2，-2，故選B。

3.類型三：目標(biāo)函數(shù)為Z=|Ax+ By +C|的非線性規(guī)劃型

此類問題為點(diǎn)線距離型，一般轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線Ax+ By + C=0的距離。有時通過最值取得求參數(shù)值。

【例3】已知：

解析：可行域如上圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（7，9）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）、C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）， ，令 ，知d為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x-2y-4=0的距離，可先求出d的范圍，進(jìn)而求出z的范圍為[3，15]。

4.類型四：目標(biāo)函數(shù)為

的非線性規(guī)劃型

此類問題為兩點(diǎn)間距離型，一般轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離問題。有時通過最值取得條件求參數(shù)值。

【例4】已知

6.類型六：實(shí)際應(yīng)用型

此類問題的一般步驟：設(shè)出所求的未知數(shù)；列出約束條件（即不等式組）；建立目標(biāo)函數(shù)；作出可行域；運(yùn)用圖解法求出最優(yōu)解。

【例6】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是（ ）

A. 12萬元 B. 20萬元

C. 25萬元 D. 27萬元

7.類型七：與其他知識關(guān)聯(lián)類型

線性與非線性規(guī)劃問題具有強(qiáng)烈的形的特征，因而往往和向量、函數(shù)、不等式等關(guān)聯(lián)。

【例7】（2009山東理）設(shè)x，y滿足約束條件：

縱觀上述問題我們不難發(fā)現(xiàn)，高考試題中簡單線性規(guī)劃與簡單非線性規(guī)劃問題的還是立足于高中函數(shù)、方程、不等式的基礎(chǔ)知識，突出化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查?！胺治鰯?shù)式結(jié)構(gòu)，聯(lián)想形的特征，完成合理轉(zhuǎn)化”是解題的一般策略。

（作者單位：安徽省安慶市程集中學(xué)）