關于方程根的討論

[摘要]本文通過舉例對方程的根作以討論。

[關鍵詞]方程根；存在性；個數

對方程根的討論主要涉及到存在性及個數。關于方程根的存在性可利用連續函數的介值定理、羅爾中值定理、函數的單調性、可導極點的存在性，即若證明f(x)在[a，b]中存在極點x0，且f'(x0)存在，則必有f'(x0)=0。若要具體討論方程根的數目，則通常證明其至少有k個根和至多有k個根同時成立，或利用函數在單調區間內至多有一個零點，這樣就能解決方程根的數目問題。

一、利用連續函數的介值定理

例1：證明方程cosx=x在(-∞，+∞)上只有一個實根。

證明：設f(x)=cosx-x，取[-1，1]?奐(-∞，+∞)，f(x)在[-1，1](上連續，且f(1)=cos1-1<0 ，f(-1)=cos1+1>0。

由連續函數的零點定理，在(-1，1)內至少存在一個?孜，使得f(?孜)=0，即cos(?孜)=?孜，即方程cos(x)=x在(-1，1)內至少有一個根。

又因為f'(x)=-sinx-1≤0 ，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減，所以方程cosx=x在(-∞，+∞)上只有一個實根。

二、利用羅爾定理

例2：設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，不求導，判斷方程f'(x)=0有幾個根及其所在范圍。

解：由于f(x)在[1，2][2，3]上連續，可導，且f(1)=f(2)=f(3)=0，所以f(x)在[1，2][2，3]上滿足羅爾定理條件，則在(1，2)內至少存在一點?孜1，使f'(?孜1)=0，所以?孜1是f'(x)=0的一個實根；在(2，3)內至少存在一點?孜2，f'(?孜2)=0，所以?孜2是f'(x)=0的一個實根。

由上可知方程f'(x)=0至少有兩個實根。

因為f'(x)為二次多項式，f'(x)=0最多有兩個實根，所以f'(x)=0有兩個實根，它們分別在(1，2)及(2，3)內。

三、利用函數的單調性

例3：試證方程sinx=x只有一個實根。

證：顯然x=0為方程f(x)=sinx-x=0的一個根，又因為f'(x)=1-cosx≥0，x∈(-∞，+∞)，所以在(-∞，+∞)內，f(x)單調增加。

又因為函數在單調區間內至多有一個零點，所以f'(x)=sinx-x在(-∞，+∞)與x軸僅有一個交點，即方程sinx=x僅有一個實根。

四、利用可導極點的存在性

例4：設f(x)在[a，b]上可導，且f'+(a)>0，f'-(b)<0，證明方程f'(x)=0在(a，b)內至少有一個根。

參考文獻：

《高等數學講稿》.大連理工大學出版社 .施光燕/編著

（責任編輯 趙永玲）

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