淺談高中數(shù)學(xué)的分類討論思想

【內(nèi)容摘要】分類討論既是一種邏輯方法，又是一種重要的數(shù)學(xué)思想。高考對分類討論思想考查的一個重要目的，是檢測學(xué)生的理性思維。分類的思想是依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；分類討論思想；題型分析

一、對分類討論思想的基本認(rèn)識

高中數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機整體。“數(shù)學(xué)思想”是數(shù)學(xué)課程論的一個重要概念，通常認(rèn)為這一思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。在解決數(shù)學(xué)問題時，會遇到各種不同的情況，需要對各種情況進行分類和求解，這就是分類討論思想。分類討論既是一種邏輯方法，又是一種重要的數(shù)學(xué)思想，高考對分類討論思想考查的一個重要目的，是檢測學(xué)生的理性思維。[1]

數(shù)學(xué)中的分類包括現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類兩種。前者是以分類對象的外部特征、外部關(guān)系為根據(jù)的，如復(fù)數(shù)分為實數(shù)與虛數(shù)等，這種分法看上去一目了然，但不能揭示所分對象之間的本質(zhì)聯(lián)系；后者是按對象的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系進行分類的，如函數(shù)按單調(diào)性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺分類等。引起分類討論的主要原因有以下五個：第一，由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；第二，由數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類討論；第三，由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；第四，對于含有參數(shù)的問題，要對參數(shù)的允許值進行全面的分類討論；第五，對于結(jié)果的不同可能進行討論。

二、分類討論在高中數(shù)學(xué)的廣泛分布

回顧和總結(jié)高中數(shù)學(xué)教材中分類討論的知識點，大致有：二次函數(shù)二次項系數(shù)正負(fù)與拋物線開口方向；直線y=kx+b的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；指數(shù)函數(shù)y=mx及其反函數(shù)y=logmx中底數(shù)m的m＞1及0＜m＜1對函數(shù)單調(diào)性的影響；等比數(shù)列前n項和公式中q＝1與q≠1的區(qū)別；復(fù)數(shù)概念的分類；不等式性質(zhì)中兩邊同時乘(除以)正數(shù)與負(fù)數(shù)對不等號方向的影響；排列組合中的分類計數(shù)原理；圓錐曲線中離心率的取值與橢圓、拋物線、雙曲線的對應(yīng)關(guān)系；直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論；運用點斜式、斜截式直線方程時斜率k是否存在；曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型；角終邊所在象限與三角函數(shù)符號等。

三、具體舉例分析

運用分類討論思想解題的步驟如下：

第一， 明確討論對象，即對哪個參數(shù)進行討論；

第二，對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復(fù)、不遺漏，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，分層不越級）；

第三，逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決；

第四，歸納總結(jié)，即把各類情況進行總結(jié)。

明確引起分類討論的原因，有利于掌握分類討論的思想方法，并順利解決問題。分類討論的主要原因有很多，下面簡單舉例進行說明：

1.由數(shù)學(xué)概念或公式引起的分類討論：如絕對值定義、二次函數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)、曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、等比數(shù)列求和公式等等。

例1：設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，比較|loga(1－x)|與| loga (1＋x)|的大小。

【解析】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關(guān)，可分兩類討論：

∵ 0＜x＜1 ∴0＜1-x＜1 ， 1+x＞1

當(dāng)0＜a＜1時，|loga(1-x)|－|loga(1+x)|

＝loga(1-x)-[-loga (1＋x)]

＝loga(1－x )＞0

當(dāng)a ＞1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|

＝- loga(1－x)- loga(1＋x)

＝- loga(1－x )＞0

可知，|loga(1－x)| ＞ |loga(1＋x)|。

2.由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同，會導(dǎo)致結(jié)果的不同，或者不同的參數(shù)值要運用不同的求解和證明方法。含參數(shù)的問題，必須考慮參數(shù)的不同取值對問題的不同影響。

例2：a為何值時，不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2＞0的解是一切實數(shù)？

【解析】（1）若a2-3a+2=0，解得a=1或a=2，

a=1時，原不等式為2>0恒成立，所以a=1適合題意；

a=2時，原不等式為x+2>0，它的解不是一切實數(shù)，所以a=2不適合題意。

【點評】題目中給出不等式這一概念，而非具體到一元幾次不等式，故解題過程中需針對a2-3a+2=0和a2-3a+2≠0兩種情況進行討論，確定不等式為一元一次或一元二次，再進行解答。[2]

⒊其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論：如排列組合應(yīng)用問題等。

例3：4位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定，每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分。若4位同學(xué)總分為0，則這4位同學(xué)不同的得分情況是（）種。

(A) 48 (B) 36 (C) 24 (D) 18

【解析】分類計數(shù)：

故選Ｂ。

四、注意事項

分類討論要注意以下四點：第一，根據(jù)問題實質(zhì)，做到分類不重復(fù)、不遺漏；第二，熟練掌握基本知識、基本方法和基本技巧，做到融會貫通，這是解好分類討論問題的前提條件；第三，不斷地總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，克服分類討論中的主觀臆測和盲目性；第四，要注意簡化或避免分類討論，優(yōu)化解題過程。

分類討論問題一般覆蓋知識點較多，有利于知識的考查，所以，解分類討論問題要有一定的分析能力、一定的分類思想與分類技巧。這種題型有利于對學(xué)生能力的考查，且與生產(chǎn)實踐和高等數(shù)學(xué)都緊密相關(guān)。高考對分類討論思想考查的一個重要目的是檢測學(xué)生的理性思維。正是因為這些原因，這類問題已成為高考的熱點，應(yīng)引起教師及學(xué)生的高度重視。

參考文獻：

【1】數(shù)學(xué)思想方法.內(nèi)蒙古人民出版社.黃澤選.

【2】數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書.人民教育出版社.課程教材研究所

（責(zé)任編輯馮 璐）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文