十\\極坐標\\參數方程與不等式

一星題：立足概念，夯實基礎

二星題：立足重點，查漏補缺

三星題：立足難點，提升能力

一星題

1． 極坐標方程（ρ-1）（θ-π）＝0（ρ≥0）表示的圖形是

（A） 兩個圓（B） 兩條直線

（C） 一個圓和一條射線（D） 一條直線和一條射線

2． 若0＜x＜，求函數y=x2（1-3ｘ）的最大值．

二星題

3． 以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位. 已知直線的極坐標方程為θ=（ρ∈R），它與曲線ｘ＝1+2ｃｏｓα，ｙ＝2+2ｓｉｎα（α為參數）交于點A和點B，則AB＝．

4． （1） 已知x，y∈R且a，b>0，求證：ax2+2by2≥；

（2） 已知a，b，ｃ∈R+且ａｂｃ＝1，求證： ++≥．

三星題

5． 已知x，y∈R+ 且+=1，求+的最小值．

6． 當ａ，ｂ∈R且ａ≠0時，不等式ａ-ｂ+ａ+ｂ≥ａ#8226;（ｘ-1+ｘ-2）恒成立，求實數ｘ的取值范圍．

7． 在極坐標系中，已知點A（，0）到直線ｌ：ρｓｉｎθ-＝ｍ（ｍ＞0）的距離為3．

（1） 求實數ｍ的值；

（2） 設P是直線ｌ上的動點，Q在線段OP上，且滿足OP#8226;OQ=1，求點Q的軌跡．

8． 已知圓O的參數方程為ｘ＝2ｃｏｓθ，ｙ＝2ｓｉｎθ（θ為參數），直線ｌ1的參數方程為ｘ＝1+ｔｃｏｓθ，ｙ＝1+ｔｓｉｎθ（ｔ為參數，≤θ≤），直線ｌ2的參數方程為ｘ＝1-ｔｓｉｎθ，ｙ＝1+ｔｃｏｓθ（ｔ為參數，≤θ≤）．

（1） 已知直角坐標系中，點P的坐標為（-，1），以原點O為極點，以ｘ軸的正半軸為極軸建立極坐標系，過點P作圓O的切線，求該切線的極坐標方程；

（2） 若直線ｌ1與圓O交于A，B兩點，直線ｌ2與圓O交于C，D兩點，求AB#8226;CD的最值．

【參考答案】

1． C

2． 解： ∵ 0＜x＜， ∴ 1-3x>0． ∴ y=x2（1-3ｘ）＝ｘ#8226;ｘ#8226;（1-3ｘ）＝#8226;#8226;#8226;（1-3ｘ）≤3=． 當且僅當=1-3ｘ即x＝時等號成立，此時函數有最大值．

3．（提示：由題意可得，直線的普通方程為x-y=0，曲線的普通方程為（ｘ-1）2+（ｙ-2）2＝4． ∴ 圓心到直線的距離為=， ∴ AB=2=）

4． 證明： （1） ∵ a，b>0， ∴ 要證原不等式，即證≥（ｘ+2ｙ）2． 根據柯西不等式可得＝+（ａｘ2+2ｂｙ2）≥（ｘ+2ｙ）2， ∴ 原不等式得證．

（2） ∵ a，b，ｃ∈R+且ａｂｃ＝1，∴ ++=+#8226;#8226;（b+c）=+#8226;（ｂ+ｃ）≥2＝ ． 同理可得，++≥；++≥． ∴ ++≥-++-++-+=++≥#8226;＝．

5． 解：令a=，b=，則x=，y=． ∵ +=a+b=1， ∴ +=#8226;+#8226;＝+. ∵ +［（ａ+1）+（4+ｂ）］≥（a+b）2， ∴ +≥＝. 當且僅當#8226;=#8226;即ｘ＝5，ｙ＝時，+ 有最小值．

6． 解： ∵ a≠0，∴ ｘ-1+ｘ-2≤恒成立． ∴ ｘ-1+ｘ-2≤min． ∵ ａ-ｂ+ａ+ｂ≥a-b+a+b=2ａ，當且僅當（ａ-ｂ）（ａ+ｂ）≥0時，等號成立，∴ ≥=2． ∴ ｘ-1+ｘ-2≤2． 解得x的取值范圍是，．

7． 解： （1） 以極點為原點、極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則點A的直角坐標為（，0）. ∵ ρｓｉｎθ-=ρｓｉｎθ-ρcosθ=m， ∴直線ｌ的普通方程為ｘ-ｙ+ｍ＝0. ∵點A到直線l的距離d==1+m=3，又m＞0， ∴ m=2．

（2） 由（1）得直線l的方程為……