解答立體幾何體的“快捷鍵”

讓我們先從一個題目談起．

已知ａ，ｂ為兩條不垂直的異面直線，α是一個平面，則ａ，ｂ在平面α上的射影有可能是: ①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點． 上面四個結論中，正確的結論的序號是．

面對這個問題，有的同學手拿鋼筆和鉛筆在桌面上演示，也有同學利用教室空間指指點點，雖然給出了答案，但總覺得不夠放心．固然，借助學習用具、利用周圍環境，這些都是解立體幾何題的好方法，但是是否有更保險、更快捷的方法呢？有的，比如借助正方體來解決問題。

通過對圖1、圖2和圖3的觀察，我們可以直觀地發現選項①②④都是正確的，而③不正確．若ａ，ｂ在平面α上的射影為同一條直線，因為與平面α相交且經過這條直線的垂直平面有且只有一個，所以此時的ａ，ｂ為兩條共面直線，與條件“異面直線”不符．

總的來說，利用正方體可以便利地解答以下六個方面的立體幾何問題.

一、判斷空間直線的位置關系

例1平面α外有兩條直線m和ｎ，如果m和ｎ在平面α內的射影分別是ｍ′和ｎ′，則下列命題中不正確的命題的個數為

①ｍ′⊥ｎ′?圯ｍ⊥ｎ；②ｍ⊥ｎ?圯ｍ′⊥ｎ′；③ｍ′與ｎ′相交?圯ｍ與ｎ相交或重合；④ｍ′與ｎ′平行?圯ｍ與n平行或重合．

（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4

解析： 利用正方體模型，如圖4所示，可舉出①③的反例；如圖5所示，可舉出②④的反例．選D．

二、探討空間距離的大小關系

例2已知平面α平行于平面β，直線ｍ?奐α，直線ｎ?奐β，點A∈ｍ，點B∈ｎ，記點A，B之間的距離為ａ，點A到直線n的距離為ｂ，直線m到直線n的距離為c，則

（A） b≤c≤a （B） a≤c≤b

（C） c≤a≤b（D） c≤b≤a

解析： 這道選擇題可用特殊情形求解．畫一個正方體，如圖6所示，可……