數(shù)列中三個值得思考的問題

提問： 教材中對等比數(shù)列的定義是：“如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．”我認為，如果把等比數(shù)列定義為“每一項乘以同一個常數(shù)等于它的后一項”更好些，一方面“比”與“乘”可以互相轉化，另一方面也不必加上條件“從第2項起”．為什么教材要采用“比”的說法呢？

回答： 等差數(shù)列的定義是：“如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．”對照“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”這兩個概念的文字表述，“等比數(shù)列”的概念似乎是由“等差數(shù)列”類比而來．而且，我們確實既可以把數(shù)列1，2，4，8，16，32，…的規(guī)律說成“后一項與前一項之比是2”，也可以說成“每一項乘以2等于它的后一項”．那么，為什么教材中沒有采用這種說法呢？讓我們把問題放到一般的情形中觀察和比較一下．

（1） 若采用“乘”的說法，a1與q就有可能取0．

①若a1=0且q=0，這個數(shù)列是：0，0，0，0，0，…

②若a1=0且q≠0，這個數(shù)列依然是：0，0，0，0，0，…

③若a1≠0且q=0，則數(shù)列是：a1，0，0，0，0，…

以上數(shù)列過于特殊，相對而言，a1≠0且q≠0的情形更具研究價值． 采用“比”的說法，可以將a1=0與q=0的情況剔除，使研究對象更為清晰．

（2） 如果把等比數(shù)列定義為“每一項乘以同一個常數(shù)等于它的后一項”，雖然可以省去“從第2項起”，卻導致了更大的麻煩．

當一個數(shù)列是無窮數(shù)列時，課本中的定義與提問中的定義對該數(shù)列都適用；當一個數(shù)列是有限數(shù)列時，提問中的定義必須加上條件“到這個數(shù)列的倒數(shù)第2項止”才能對該數(shù)列適用．

可見，教材中對等比數(shù)列的定義不僅排除了a1=0與q=0的特殊情況，而且同時適用于有限數(shù)列和無限數(shù)列，顯得更加科學、簡潔． 由此我們不妨推測，或許數(shù)學家是先給出了等比數(shù)列的準確定義，才類比出了等差數(shù)列的定義！……