六\\不等式\\推理與證明

一星題：立足概念，夯實基礎(chǔ)

二星題：立足重點(diǎn)，查漏補(bǔ)缺

三星題：立足難點(diǎn)，提升能力

一星題

1． 若<<0，則下列不等式中正確的是

①a+bb； ③a2．

（A） ①② （B） ②③（C） ①④（D） ③④

2． 若a≥0，b≥0，且a+b=2，則

（A） ab≤（B） ab≥（C） a2+b2≥2（D） a2+b2≤3

3． 下列各函數(shù)中，最小值為2的是

（A） y=x+ （B） y=sinx+，x∈0，

（C） y= （D） y=x+-1

4． 已知關(guān)于x的不等式<0的解集是（-∞，-1）∪-，+∞，則ａ＝．

5． 設(shè)等差數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項和為Sｎ，則S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差數(shù)列． 類比以上結(jié)論可得：設(shè)等比數(shù)列｛bｎ｝的前n項積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列．

二星題

6． 若不等式x2-logax<0在0，內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是

（A） ≤a<1（B）

7． 不等式x+3-x-1≤a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（A） （-∞，-1］∪［4，+∞）（B） （-∞，-2］∪［5，+∞）

（C） ［1，2］（D） （-∞，1］∪［2，+∞）

8． 實數(shù)ｍ，ｎ，ｘ，ｙ滿足ｍ2+ｎ2＝ａ，ｘ2+ｙ2＝ｂ，且ａ≠ｂ，則ｍｘ+ｎｙ的最大值為

．

9． 變量x，y滿足x+2y-3≤0，x+3y-3≥0，y-1≤0.目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的最大值為3a，則實數(shù)a的取值范圍是．

10． 從1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性結(jié)論是

．

三星題

11． 設(shè)a>b>c>0，則2a2++-10ａｃ+25ｃ2的最小值是

（A） 2（B）4（C） 2（D）5

12． 若關(guān)于x的不等式（2ｘ-1）2＜ａｘ2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)ａ的取值范圍是．

13． 設(shè)實數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值為．

14． 證明不等式1+++…+<2 （ｎ∈N*）．

【參考答案】

1． C2． C3． D

4． -2 （提示：若a=0，則可求得x>-1，與題意不符，∴ a≠0． ∵ 不等式等價于a（ｘ+1）ｘ-＜0 ， 結(jié)合解集特點(diǎn)及二次函數(shù)圖象可得：ａ＜0且＝-，∴ ａ＝-2）

5． ，

6． A （提示：函數(shù)logax中應(yīng)有a>0且a≠1． 又由題意可知x2∈0，． ∵ x∈0，時，logax≥恒成立， ∴ 0

7． A （提示：分x<-3，x>1，-3≤x≤1這三種情況進(jìn)行討論）

8．（提示：設(shè)m=sinα，n=cosα，x=sinβ，y=cosβ）

9． a≥ （提示：作圖，求出三條直線的交點(diǎn)分別為（0，1），（1，1），（3，0）． 將這三點(diǎn)分別代入z=ax+y，組成方程組1≤3a，a+1≤3a，3a≤3a.解得a≥）

10． n+（ｎ+1）+…+（2ｎ-1）+2ｎ+…+（3ｎ-2）＝（2ｎ-1）2，ｎ∈N*

11． B （提示： 2a2++-10ａｃ+25ｃ2＝（ａ-5ｃ）2+ａ2-ａｂ+ａｂ++＝（ａ-5ｃ）2+ａｂ++ａ（ａ-ｂ）+≥0+2+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ａ-5ｃ＝0，ａｂ＝1，ａ（ａ-ｂ）＝1 時等號成立，此時ａ＝，ｂ＝，ｃ＝）

12． ， （提示： ∵ 不等式等價于（4-ａ）ｘ2-4ｘ+1＜0且有３個整數(shù)解，可知不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，且不等式對應(yīng)的方程（4-ａ）ｘ2-4ｘ+1＝0中的Δ＝4ａ＞0，解得0＜ａ＜4．解不等式可得＜ｘ＜，由ａ的取值范圍可得＜＜，即不等式（2ｘ-1）2＜ａｘ2對應(yīng)的方程的較小的根小于1． ∴ 不等式的整數(shù)解應(yīng)為1，2，3， ∴ 3<≤4，解得a的取值范圍為，）

13． 27 （提示：2∈［16，81］，∈，， ∴ =2#8226;∈［2，27］，即的最大值為27）

14． 證法一： （1） 當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，不等式成立．

（2） 假設(shè)ｎ＝ｋ（ｋ≥1）時不等式成立，即1+++…+< 2成立，則1+++…+<2+＝＜＝2． ∴ 當(dāng)……