平面向量學習中容易出現的問題

一、忽略零向量的特殊性

例1下列命題中敘述正確的是．

①若a∥b，ｂ∥ｃ，則a∥ｃ；②若非零向量ａ與ｂ方向相同或相反，則ａ+ｂ 與ａ，ｂ之一的方向相同；③ａ+ｂ＝ａ+ｂ?圳ａ與ｂ方向相同；④向量ａ與向量ｂ共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使ｂ＝λａ；⑤+＝0；⑥若λａ＝λｂ，則ａ＝ｂ．

錯解： ①②③④⑤⑥．

錯因分析： 錯解沒有考慮到零向量的特殊情況．零向量的長度為零，它與任一向量平行， 正因為這個特殊性，同學們在解題時稍有不慎就會出錯．其實，以上6個命題都是錯誤的． ①當b=0時，a不一定與c平行． ②當a+b=0時，其方向任意，與a，b的方向都不相同． ③當a，b之一為0時，結論不成立． ④當a=b=0時，λ有無數個；當a=0，b≠0時，λ不存在． ⑤兩個向量之和應為向量，而不是數值． ⑥當λ=0時，不管a與b的大小與方向如何，都有λa=λb．

正解： 6個選項全部錯誤．

評注： 在數學中，有很多概念是比較“另類”的，需要大家特別關注和記憶．例如：零向量的長度為零，它與任一向量平行；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，等等．

二、向量夾角的范圍不清

例2設兩個向量ｅ1，ｅ2滿足ｅ1＝2，ｅ2＝1，ｅ1，ｅ2的夾角為60°，若向量2ｔｅ1+7ｅ2與向量ｅ1+ｔｅ2的夾角為鈍角，求實數ｔ的取值范圍．

錯解： 由題意得：ｅ1#8226;ｅ2=ｅ1#8226;ｅ2cos60°=1，＝4，=1． ∴ （2ｔｅ1+7ｅ2）#8226;（ｅ1+ｔｅ2）＝2ｔ+（2ｔ2+7）ｅ1#8226;ｅ2+7ｔ＝2ｔ2+15ｔ+7． ∵ 向量2ｔｅ1+7ｅ2與向量ｅ1+ｔｅ2的夾角為鈍角， ∴ 2ｔ2+15ｔ+7<0，解得-7

錯因分析： 由向量2ｔｅ1+7ｅ2與向量ｅ1+ｔｅ2的夾角為鈍角可推出（2ｔｅ1+7ｅ2）#8226;（ｅ1+ｔｅ2）<0，但由（2ｔｅ1+7ｅ2）#8226;（ｅ1+ｔｅ2）<0并不能推出向量2ｔｅ1+7ｅ2與向量ｅ1+ｔｅ2的夾角為鈍角． 例如，當t=-時，（2ｔｅ1+7ｅ2）#8226;（ｅ1+ｔｅ2）<0，而向量2ｔｅ1+7ｅ2與向量ｅ1+ｔｅ2的夾角為平角π，所以（2ｔｅ1+7ｅ2）#8226;（ｅ1+ｔｅ2）<0僅是這兩個向量的夾角為鈍角的必要條件，而不是充分條件．

正解： 由錯解得-7

評注： 角的相關概念不少，同學們在學習過程中要注意牢記它們的概念及取值范圍. 如直線的傾斜角的取值范圍是［0°，180°），兩向量的夾角……