利用“陷阱”教

　　摘要：根據(jù)教育改革和發(fā)展的趨勢，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是非常重要的。文章主要研究三個(gè)問題：“陷阱”教學(xué)的作用和意義；“陷阱”的設(shè)置及思維能力的培養(yǎng)；怎樣把學(xué)生拉出“陷阱”。
　　關(guān)鍵詞：陷阱；思維能力；思維定勢
　　
　　數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中，教師要千方百計(jì)地通過學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，全面揭示數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理活動(dòng)統(tǒng)一起來。課堂教學(xué)中充分有效地進(jìn)行思維訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，它不僅符合素質(zhì)教育的要求，也符合知識(shí)的形成與發(fā)展以及人的認(rèn)知過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)性價(jià)值。
　　當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育改革和發(fā)展的總趨勢就是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。思維活動(dòng)的強(qiáng)弱，決定一個(gè)人的思維品質(zhì)，要達(dá)到這一要求，教師的教學(xué)就必須從優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)入手，注意激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生多種優(yōu)良的思維品質(zhì)。在教學(xué)中經(jīng)常遇到一些學(xué)生看問題不夠深入，分析問題不夠細(xì)致，解題時(shí)就極易落入題目的“泥潭水坑”即所謂的“陷阱”之中。不過，一旦他們明白了錯(cuò)誤之后，印象極為深刻，以后就很少犯同樣的錯(cuò)誤，而且思維能力也得到了相應(yīng)的提高。
　　一、“陷阱”教學(xué)的作用和意義
　　所謂“陷阱”并不是捉弄學(xué)生，而是指給出的問題在內(nèi)容上或解題方法上具有較深的隱蔽性，在文字上或語句上或圖表上具有一定的誘導(dǎo)性，讓學(xué)生感覺問題不難，但極易出錯(cuò)。我們知道，解答數(shù)學(xué)問題的正確思維是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定理、公式去分析問題、解決問題，但學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維過程往往有不正確的方式，如憑直觀感受想當(dāng)然、簡單機(jī)械地模仿或生搬硬套等等。而“陷阱”教學(xué)能幫助學(xué)生克服上述不良思維習(xí)慣，能培養(yǎng)學(xué)生耐心細(xì)致地分析問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；“陷阱”教學(xué)還能使學(xué)生在挫折中得到啟發(fā)，在失敗中吸取教訓(xùn)。
　　二、“陷阱”的設(shè)置及思維能力的培養(yǎng)
　　1.利用“缺失”條件巧設(shè)“陷阱”，培養(yǎng)思維的靈活性和敏捷性
　　在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到所給問題呈現(xiàn)條件不足的假象、圖形的部分殘缺等情況，或由于對這種缺失的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不足，或由于想象力的匱乏，而掉進(jìn)“陷阱”。
　　例如：求
　　一般學(xué)生的解題思路如下：當(dāng)x→∞時(shí)，分母和分子的極限都不存在，故不能利用商的法則進(jìn)行計(jì)算。于是有的學(xué)生就亂猜測其結(jié)果為∞，甚至有的學(xué)生說題目條件不夠或者說題目錯(cuò)了，學(xué)生陷入困境之中。
　　掉進(jìn)“陷阱”的原因是學(xué)生并沒有想到把題目變一變。
　　分析：若把看作是與sinx的乘積，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)是無窮小量，而sinx是有界函數(shù)，故利用無窮小量的性質(zhì)（有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量）即可得出結(jié)果。
　　解：當(dāng)x→∞時(shí)，，即是無窮小量。又，即sinx是有界函數(shù)。根據(jù)無窮小量的性質(zhì)，得
　　2.利用思維“定勢”設(shè)置“陷阱”，培養(yǎng)思維的批判性和深刻性
　　數(shù)學(xué)教學(xué)過程實(shí)質(zhì)上是由一連串的轉(zhuǎn)化過程所構(gòu)成的。學(xué)生接受新知識(shí)要借助于舊知識(shí)，而舊知識(shí)的思維形式往往會(huì)成為新知識(shí)思維形式的障礙（如思維定勢）。思維定勢，是指在過去經(jīng)驗(yàn)的影響下，對于解決的新問題帶有一定的傾向性。思維定勢作為已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對新學(xué)知識(shí)、技能的影響，有其兩重性，當(dāng)學(xué)生業(yè)已掌握的知識(shí)、技能妨礙或干擾學(xué)習(xí)新知識(shí)、新技能時(shí)，形成所謂負(fù)遷移。如果學(xué)生對一類問題已形成了思維定勢和思維習(xí)慣，這時(shí)若出現(xiàn)與這類問題性質(zhì)不同的問題，就會(huì)掉入“陷阱”。
　　例如：設(shè)，求f＇（0）
　　一般解法是：用公式法，先求導(dǎo)數(shù)函數(shù)為：
　　導(dǎo)數(shù)的定義在求極限、求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中都有著重要的甚至是不可替代的作用。
　　講完上題后，緊接著給學(xué)生下面問題：
　　講最大利潤問題時(shí)，我們先做這樣一個(gè)題，某廠每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的總成本為（萬元），每月銷售這種產(chǎn)品的價(jià)格
　　P=100-x（萬元/噸），問每月的產(chǎn)量是多少時(shí)收入最大？
　　經(jīng)計(jì)算得出：R（x）=x（100-x），R＇（x）=100-2x
　　令R＇（x）=100-2x=0
　　x=50R＂（50）=-2＜0，所以月產(chǎn)量為50噸時(shí)收入最大。
　　問：月產(chǎn)量為11噸還是50噸時(shí)利潤最大？
　　很多學(xué)生不假思索答：50噸時(shí)利潤最大!問：對嗎？請同學(xué)們驗(yàn)證一下。驗(yàn)證的結(jié)果使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題，反思思維立即展開，對問題的再探索也就成為必然。
　　利用這些“陷阱”題，教師給予適當(dāng)?shù)闹刚挽柟叹毩?xí)，讓學(xué)生深刻理解新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，防止生搬硬套的錯(cuò)誤發(fā)生，使學(xué)生印象深刻又培養(yǎng)了思維能力。
　　3.利用“正向”思維巧設(shè)“陷阱”，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性和廣闊性
　　就心理學(xué)角度考慮，一個(gè)人只習(xí)慣于正向思維，而不習(xí)慣于迂回思維，在解題中，只習(xí)慣于正向運(yùn)用定義、公式，法則等，而遇到需要靈活處理的問題時(shí)仍按正向思維處理，就會(huì)掉入陷阱。
　　例如：求
　　分析：我們知道本題顯然不能用直接積分法（不能直接套不定積分的公式）和變量置換法（題目不含有根號(hào)），經(jīng)過考察也不能用湊微分法，只能用分部積分法求解。
　　用分部積分法積分的關(guān)鍵是確定u和dv。
　　師：本題的u和dv可以直接看出來嗎？
　　眾生：不能。
　　師：該怎么辦？
　　眾生：先湊微分。
　　師：對。怎樣湊？誰來說？
　　生1：在湊微分環(huán)節(jié)，可以把xdx湊成
　　師：這個(gè)同學(xué)湊微分的方法對嗎？
　　眾生：對
　　師：誰來接著做下去？
　　生2：
　　接下來不知道做了。
　　師：誰能繼續(xù)做下去？
　　生3：還需要繼續(xù)用分部積分法進(jìn)行積分。
　　在本題的教學(xué)中，先讓學(xué)生思考用什么方法解決問題，在選對分部積分方法之后，在湊微分時(shí)又有講究，當(dāng)用正向思維不能解決問題時(shí)，應(yīng)及時(shí)改變思維方向，另選突破口，這樣讓學(xué)生經(jīng)過多次的思考與探索，學(xué)生的思維品質(zhì)才能得到更大的提高。
　　三、怎樣把學(xué)生拉出“陷阱”
　　首先，教師幫助學(xué)生分析掉入“陷阱”的原因，讓他們先“醒”過來；其次是要“慢慢”地把他們拉出來，教師要抓好教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在數(shù)學(xué)知識(shí)的質(zhì)變（往往是重點(diǎn)）過程中，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)折，排除思維活動(dòng)的障礙（往往是難點(diǎn)），渡過思維操作的“關(guān)卡”，以實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展，讓他們從中“悟”出一些道理；再次，要鋪設(shè)一些“臺(tái)階”讓學(xué)生自己爬起來，教師要注意結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)識(shí)水平從不同角度、不同層次、不同側(cè)面有目的、有針對性地不斷設(shè)計(jì)組編一些探索型、開放型、判斷改錯(cuò)型、歸納與綜合型等題目，為學(xué)生提供多種類型的思維訓(xùn)練素材，留給學(xué)生足夠的時(shí)間訓(xùn)練；最后，教師可以對學(xué)生的思維進(jìn)行測評，測評方法可小型多樣，應(yīng)根據(jù)課堂內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際情況而定，如選編一些口答、搶答、限定時(shí)間解答等題型對學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)單項(xiàng)測評或多項(xiàng)綜合測評。學(xué)生可先自我評價(jià)，體驗(yàn)成功的樂趣。在測評中，教師要注重把握學(xué)生思維的過程和特點(diǎn)，了解其弱點(diǎn)，既不輕易放過學(xué)生出現(xiàn)的問題，也不盲目地下結(jié)論，而應(yīng)以此為契機(jī)認(rèn)真研究優(yōu)生與差生的心理特征與思維特征，探索優(yōu)生“見微知著”的跨越性思維的奧秘和差生產(chǎn)生思維障礙的原因，從思維學(xué)和心理學(xué)的角度出發(fā)，通過變化教學(xué)結(jié)構(gòu)、設(shè)計(jì)思維層次、調(diào)控思維節(jié)奏，對學(xué)生進(jìn)行有效的思維訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文