忽視不得的“根”

函數與方程中的許多問題都可以歸結為一元二次方程根的分布問題，而不少同學對這一塊內容的認識比較模糊，因此解題中容易出現各種錯誤.

錯因一:忽視轉化的等價性

例1已知方程2x2-2(m-1)x+m+3=0的兩實根均大于1，求實數m的取值范圍.

錯解: 設方程的兩根為x1，x2，且x1>1，x2>1，則由題意有Δ≥0，x1+x2>2，x1x2>1;即4(m-1)2-8(m+3)≥0，m-1>2，>1.解得m≥5.

剖析: 錯解對x1>1，x2>1這一條件進行了非等價轉化，Δ≥0，x1+x2>2，x1x2>1只是x1>1，x2>1的必要而非充分條件. 事實上，x1>1，x2>1應等價于Δ≥0，(x1-1)(x2-1)>0，(x1-1)+(x2-1)>0.

正解1: 由x1>1，x2>1可知Δ≥0，(x1-1)(x2-1)>0，(x1-1)+(x2-1)>0;即Δ≥0，x1x2-(x1+x2)+1>0，x1+x2-2>0.由韋達定理得4(m-1)2-8(m+3)≥0，-(m-1)+1>0，m-1>2.解得5≤m<7.

正解2: 設f(x)=2x2-2(m-1)x+m+3，由二次函數的圖象及已知條件可得f(1)>0，>1，Δ≥0;即2-2(m-1)+m+3>0，>1，4(m-1)2-8(m+3)≥0.解得5≤m<7.

評注: 解決一元二次方程根的分布問題通常有兩種策略:一是利用韋達定理;二是利用二次函數的圖象，考慮判別式、對稱軸位置、區間端點函數值的符號等.不管用哪種策略，都要注意轉化的等價性.

錯因二:忽視區間端點

例2已知函數f(x)=x3+2x2-ax+1在區間(-1，1)上恰有一個極值點，求實數a的取值范圍.

錯解: f′(x)=3x2+4x-a. ∵ f(x)在(-1，1)上恰有一個極值點，∴ f′(x)=0恰有一根在(-1，1)內， ∴ Δ>0(若Δ=0，則f′(x)≥0，f(x)無極值點)，且f′(-1)#8226;f′(1)<0，代入解得-1

剖析: 錯解將方程f′(x)=0在區間(-1，1)上恰有一個實根等價于f′(-1)#8226;f′(1)<0，忽略了f′(-1)或f′(1)為0的情況.

正解: f′(x)=3x2+4x-a. 由題意可知，方程f′(x)=0在區間(-1，1)上恰有一個實根可以分為以下三種情況:

① x1∈(-1，1)，x2∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，則f′(-1)#8226;f′(1)<0，解得-1

② x1=1，則a=7， f′(x)=3x2+4x-7， f′(x)=0在(-1，1)上無解;

③ x1=-1，則a=-1，f′(x)=3x2+4x+1. 令f′(x)=0，易知x2=-∈(-1，1).

綜上可知，-1≤a<7.

評注: 在特定的區間上考慮一元二次方程根的分布問題，要特別關注區間端點的函數值，不能忽視端點即為零點的特殊情況.

錯因三:忽視隱含條件

例3已知方程ax2+bx-1=0(a，b∈R，且a>0)有兩個實數根，且其中一根在區間(1，2)內，則a-b的取值范圍為

(A) (-1，+∞)(B) (-∞，-1)(C) (-∞，1)(D) (-1，1)

錯解: 可分成兩種情況討論:

① 方程在(1，2)上有兩個相……