易被誤解的當a＞1時指對數函數圖象的位置關系

摘 要：指數函數、對數函數，是高中階段非常重要的兩個基本初等函數。本文主要討論一下當a>1時，指對數函數圖象在同一坐標系下是否會有交點的問題，如果有交點那么底數a取值要如何確定，要用怎樣的方法來解決這個問題。

關鍵詞：指數函數；對數函數；切線；單調性

中國分類號：G420 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2010）4-024 -01

蘇教版教材必修1第二章“函數概念與基本初等函數Ⅰ”第三節“對數函數”，有一張用計算器通過列表描點的方法作出的指對數函數的圖象（底a為2），指對數函數圖象無交點。大概是熟視無睹的緣故，我們常常誤認為：當a>1時函數y=logax的圖象與函數y=ax的圖象無交點。

真的是這樣嗎？答案是否定的。舉個例子：

當x=2時函數y=1.1x的圖象與直線y=x有交點，那么由反函數的對稱性可知函數y=1.1x的圖象與函數y=log1.1x的圖象就肯定有交點。

因此得出結論：當a>1時，函數y=ax的圖象與函數y=logax的圖象可以無交點也可以有交點，那么，能否找出判斷有無交點的一個明確具體的a范圍呢？

直接找函數y=ax的圖象與函數y=logax的圖象的交點有難度，不妨探究當a>1時函數y=ax的圖象與直線y=x的位置關系。因為函數y=ax的圖象與函數y=logax的圖象關于直線y=x對稱，若函數y=ax的圖象與直線y=x有交點，則此交點也在函數y=logax的圖象上。

1.先求出函數y=ax的圖象與直線y=x相切時的值。那么這個臨界值a如何求呢？

設切點P(x0，y0)，則，y′|x=x0=axlna|x=x0=ax0lna=1，

又y0=ax0，y0=x0，

∴ax0=x0，

∴x0lna=1，

∴x0=1lna，

∴a1lna=1lna，

lna1lna=ln1lna，

1lnalna=ln1lna，

即1=ln1lna，

∴1lna=e，

a=e1e。

即當a=e1e時，

函數y=(e1e)x的圖象與直線y=x相切。

2.證明了函數y=(e1e)x的圖象與直線y=x相切，是否就證明了它們之間除切點外無交點呢？不一定。因為兩函數圖象相切可以有兩個或多個交點，只有一個公共點只是切點處附近的性質。

再證明：設函數y=ax的圖象與直線y=x切點坐標為，當時切點為(1lna，1lna)，

當a=e1e時切點為P（e，e），

如果x>e，y′=(e1e)xlne1e>

(e1e)elne1e=1；

同理如果0≤x<e，0

如果x<0，正負顯然。

∴函數y=(e1e)x圖象上的點除切點外都在直線y=x的上方。

因為函數y=ax與函數y=logax互為反函數，圖象關于直線y=x對稱，所以當a=e1e時，

函數y=logax與直線y=x相切且圖象上的點除切點外都在直線y=x的下方。此時，

函數y=ax的圖象與函數y=logax的圖象也相切且只有一個公共點即切點。

3.那么當a在什么范圍內，函數的圖象全在直線y=x的上方呢？

證明：利用冪函數單調性知，a∈(e1e，+∞)。

如果x≥0，∵a>e1e，

∴y=ax>(e1e)x；

如果x<0，上下顯然。

由對稱性，當a>e1e時，函數y=logax的圖象全在直線y=x的下方，指對數函數圖象無交點。

同理可證，當1

歸納小結當a>1時指對數函數圖象的位置：

當a>e1e時，兩函數的圖象無交點；

當a=e1e時兩函數的圖象只有一個交點；

當1

這樣我們通過導數知識，利用函數的切線作為臨界，從而確定出兩個函數底數a的取值范圍，這樣我們常常認為的：

當a>1時函數y=logax的圖象與函數y=ax的圖象無交點是錯誤的。這讓我們對指數數函數與對數函數在同一坐標系下的位置關系有了更深一步的認識。