淺淡高中數學教學中抽象概括能力及提高策略
2010-12-31 00:00:00程營隊
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年12期
摘 要：數學離不開思維，可以說數學的所有結論都是思維的結果，而抽象、概括是思維活動過程中不可缺少的重要組成部分。適當的進行應用題、探索題和信息遷移題的訓練，是培養抽象概括能力的必要手段。
關鍵詞：抽象；概括；思維；策略
中國分類號：G427 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2010）4-023 -01
高考考綱中明確指出，抽象概括能力的考查要求是：能夠通過對實例的探究發現研究對象的本質；能夠從給定的信息材料中概括出一些結論，并用于解決問題或作出新的判斷。
所謂抽象是指：從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質的特征。數學概括的意義：其一，指在思想上把具有相同本質特性的事物聯系起來；其二，是把被研究對象的本質特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質特性。
抽象與概括是密切聯系的，抽象是概括的基礎，沒有抽象就不可能有概括；概括也有助于抽象，它能使抽象而來的特有屬性推廣到研究對象的整個類之中。科學的概念是在抽象和概括共同發揮作用的前提下形成的。如何提高抽象概括能力呢？
1.從觀察和比較中提高抽象概括能力。
2.從類比和歸納中提高抽象概括能力。類比是從特殊到特殊的推理，歸納是從特殊到一般的推理，這兩種推理的結論，都必須進行概括。
3.從直觀和抽象中提高抽象概括能力。
4.從小結和評價中提高抽象概括能力。
在平時解題中，同學們要注意準確、嚴密的語言表達解題過程，做到概括能力和語言表達能力協同發展。重視基礎知識、基本技能、基本思想與方法，是培養抽象概括能力的基礎；適當的進行應用題、探索題和信息遷移題的訓練，是培養抽象概括能力的必要手段。現以幾道高考題分析求解過程具體說明。
例1 （08江蘇10）將全體正整數排成一個三角形數陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……
按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為。
解析：（1）通過觀察可概括出一般的規律：三角數陣的最后一個項就等于這個三角數陣的所有項的個數，而第n行就有n個數。由此可得到第n-1行的最后一個項為1+2+…+(n-1)=(n-1)n2，所以第n行（n≥3）從左向右的第3個數為(n-1)n2+3。
（2）可設第n行的第一個項為an，從三角數陣結構可歸納：an-an-1=n-1，
利用疊加法可求得an=(n-1)n2+1，
易得第n行（n≥3）從左向右的第3個數為(n-1)n2+3。
例2 （08北京卷6）已知數列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）。
A．-165
B．-33
C．-30
D．-21
解析：（1）把已知法則抽象成函數即f(p+q)=f(p)+f(q)，而正比例函數f(x)=kx滿足此性質，有條件可令an=-3n，易求a10=-30，即選C。
（2）利用賦值法令q=1，得到ap+1=ap+a1，概括出數列{an}是以a1為首項，a1為公差的等差數列，所以an=na1，由于a2=-6，
a1=-3，最后得到結論-30，即選C。
評注：對于某些問題，可以觀察題目所給的條件和結論，能夠發現和已學過的知識相似，通過合理抽象概括得到所需要的知識點，從而巧妙解決問題。如例3中由聯想到熟悉的函數模型。
華羅庚說過：“善于退，足夠地退，退到起始，而不失去重要地步，是學好數學的訣竅。”對于表面上難以解決的問題，需要我們退步考慮，研究特殊現象，再運用分析、歸納、遷移、演繹等方法去概括一般規律，使問題獲解。在解決比較抽象的問題時，可以先從具體的特殊的情況入手，經過運用分析、歸納和猜想等方法，找出存在的規律，然后概括出一般情況。
參考文獻：
［1］羅增儒.數學解題學引論(第二版)［M］.西安:陜西師范大學出版社，2008.
［2］羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.
