解決存在性問題的幾種常用方法

〔關鍵詞〕 數學教學;問題;存在;分類討論法;解析

法;比例線段法;圖象法

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)06(B)—0046—02

一、分類討論法

例1已知，在直角坐標系中，A、B兩點是拋物線y=x2-(m-3)x-m與x軸的交點(A在B的右側)，x1、x2分別是A、B兩點的橫坐標，且|x1-x2|=3.

(1)當m>0時，求拋物線的解析式;

(2)如果(1)中所求拋物線與y軸交于點C，問y軸上是否存在點D(不與點C重合)，使得以D、O、A為頂點的三角形與△AOC相似?若存在，請求出D點的坐標;若不存在，請說明理由.

分析:要求拋物線的解析式，只需求出m的值，可通過條件“|x1-x2|=3”，結合根與系數的關系及根的判別式確定m的值為2.

解:(1)略，所求拋物線的解析式為y=x2+x-2.

(2)假設在y軸上存在點D，使得△DOA∽△AOC. 設點D的坐標為(0，y)，由(1)知拋物線y=x2+x-2與y軸的交點C的坐標為(0，-2)，與x軸的交點A的坐標為(1，0)，如圖①、②所示分以下兩種情況討論:

①當∠ACO=∠ADO時，則△ACD為等腰三角形，此時AO垂直平分DC.

∵點C、D關于原點對稱，

∴D1的坐標為(0，2).

②當∠DAO=∠ACO時，有兩種情況，如圖②所示點D2、D3的位置，并且此時點D2與點D3關于原點對稱，下面求D2點的坐標.

∵△DAO∽△ACO ，∴OA2=OC·OD.

∴OD=■=■，

∴點D2的坐標為(0，■)，而D3是D2關于原點的對稱點，即D3的坐標為(0，-■)，

綜上所述，D點存在，有3個，其坐標分別是(0，2)、(0，■)與(0，-■).

評注:本題所探索的是點的存在性問題，用了分類討論的方法，解題時要注意將任何可能的情況都要考慮到，否則易將D3漏解，而在探求此點時又利用了對稱性原理巧妙地進行了解答.

二、解析法

例2 如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ABC=■，點P在線段OC上，且PO，PC(PO

(1)求P點的坐標;

(2)求AP的長;

(3)在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形?若存在請直接寫出直線PQ的解析式;若不存在，請說明理由.

分析:該題前兩問是常規求解問題，只需根據已知條件和已有知識進行推理論證，解答出結果即可，而最后一問將函數和幾何的有關知識有機結合在一起，形成一道“是否存在”的綜合題目，應以“假設存在，去偽存真”作為解答策略.

解:(1)略，點P的坐標為(0，-3);

(2)略;

(3)假設存在，分兩種情況討論，如圖③ 所示:

(i)過P作PQ1∥AC交x軸于點Q1，由(1)(2)知，點A、C、P的坐標分別為(-9，0)，(0，-12)，(0，-3)，設直線AC的解析式為y=k1x+b1，將點A、C的坐標分別代入解析式得

-9k1+b1=0b1=-12 解得k1=-■b1=-12

又∵AC∥PQ1，∴直線PQ1的解析式為y=-■x-3.

(ii)過點C作CQ2∥AP交x軸于點Q2，設直線AP的解析式為y=k2x+b2，同(i)，解得k2=-■，b2=-3. ∵CQ2 ∥AP， ∴CQ2的解析式為y=■x-12. 令y=0，得x=-36， ∴點Q2的坐標為(-36，0).再設直線PQ2的解析式為y=kx+b，將P(0，-3)，Q2(-36，0)分別代入y=kx+b，可得k=■，b=-3，∴直線PQ2的解析式為y=-■x-3.

三、成比例線段法

例2中的第三問還可以用下面的方法解答.

分兩種情況:

如圖③所示:當PQ∥AC時，則由△OPQ∽△OCA得■=■，

∴OQ=■=■ =■ ，

∴點Q的坐標為(-■，0) ，再設PQ的解析式為y=kx+b，將點P、Q的坐標分別代入解析式，有

b= -3-■k+b=0 解得b= -3k= -■

∴直線PQ的解析式為y= -■x-3.

當AP∥QC時，則由△OAP∽△OQC得■=■，

∴ OQ=■=■=36.

∴點Q的坐標為(-36，0)，利用待定系數法可確定此時直線PQ2的解析式為y=-■x-3.

評注:此題在解關于“是否存在”的問題時解法靈活，既可以利用“解析法”中兩直線平行的特點，并以一次項系數k相同作中間橋梁進行解答，又可以利用平行線等分線段定理確定線段的長度，進而得到解析式.

四、圖象法

例3如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于0、M兩點，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、O在拋物線上.

(1)請寫出P、M兩點的坐標，并求出拋物線的解析式;

(2)設矩形ABCD的周長為L，求L的最大值;

(3)連結OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點Q(除點M外)，使得△OPQ是等腰三角形，簡要說明理由.

分析:此題第一問可以直接將已知條件中的距離轉化為點的坐標形式，再利用待定系數法確定解析式即可;第二問利用矩形的性質及拋物線的對稱性，設點A的橫坐標為xA，找出點A的坐標與矩形的長、寬之間的關系，列出L關于xA的二次函數關系式，從而求出最值;第三問直接通過作圖的方法來探究“是否存在”.

解:(1)略，點P的坐標為(2，4)，點M的坐標為(4，0)，拋物線的解析式為y=-x2+4x;

(2)略，L的最大值為10;

(3)假設存在點Q(除點M外)，使得△OPQ是等腰三角形.若△OPQ是等腰三角形，OP可以為底，也可以為腰.

①以OP為底，作OP的垂直平分線RS，可以交拋物線于Q1，Q2，∴這樣的點存在，有兩個.

②以OP為腰時，可以以O為圓心，OP的長為半經作圓(除M點外)還有3個點，∴存在點Q，使△POQ為等腰三角形.

評注:對“是否存在”的問題是通過猜測、分析、作圖的方法，探究到結果，體現出數學圖形的簡潔性、直觀性、形象性.