換元法在解題中的靈活應用

〔關鍵詞〕 數學教學;換元法;應用;分

析;點評

〔中圖分類號〕 G633.6

〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)

05(B)—0054—01

一、 用換元法求函數的解析式

例1已知函數f(1-cosx)=sin2x，求f(x).

解:令1-cosx=t，t∈[0，2] ，

則cosx=1-t，f(t)=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t，

故f(x)=-x2+2x(0≤x≤2) .

點評:此題采用了整體換元的方法，但必須注意換元后“新元”的范圍.一般已知f(g(x))的解析式求f(x)的解析式時，常令g(x)=t去求解.

二、 用換元法求函數值域或最值

例2 求函數y=2x+■的值域.

解:令■=t(t≥0)，則2x=1-t2，所以y=-t2+t+1=-(t-■)2+■，

故此函數的值域為(-∞，■].

點評:本題通過整體換元去根號，將求原函數的值域轉化為求二次函數的值域.一般形如y=ax+■的函數，可令t=■(t≥0)將無理函數求值域的問題轉化為有理函數求值域的問題.

三、用換元法判斷函數的單調性

例3求函數y=log■(x2-4x+3)的單調區間，并指出在每一個單調區間上函數的單調性.

分析:本題是關于x的復合函數單調性的判斷問題，應先求函數的定義域，其次轉化為判斷幾個常見函數的單調性問題，最后根據復合函數單調性“同增異減”的原理得出結論.

解:由x2-4x+3>0，得函數的定義域為(-∞，1)∪(3，+∞)，

設t=x2-4x+3，則y=log■t，又t=x2-4x+3=(x-2)2-1，當x≥2時，t=x2-4x+3為增函數;當x≤2時，t=x2-4x+3為減函數.

因為函數的定義域為(-∞，1)∪(3，+∞)且y=log■t為減函數，

故y=log■(x2-4x+3)在(-∞，1)上為增函數，在(3，+∞)上為減函數.

點評:本題易忽略函數的定義域而出錯，一般求函數的單調區間時，應先考慮定義域.

四、用換元法證明不等式

例4設a，b，c∈R+，證明■+■+■≥■，當且僅當a=b=c時等號成立.

證明:令b+c=x，c+a=y，a+b=z， x，y，z均為正數，

則a=■，b=■， c=■.

左邊=■+■+■

=■[(■+■)+(■+■)+(■+■)-3] ≥■，

當且僅當x=y=z時取等號，即當且僅當a=b=c時等號成立.

點評:本題的特點一是變量多，二是它們間的關系不明顯，突破口不易找到，但是通過局部換元可使“新元”間的關系明朗化.

例5若x+y+z=a，且x，y，c∈R，求證x2+y2+z2≥■.

證明:設x=■+t1，y=■+t2，z=■-(t1-t2)，t1，t2∈R，

則x2+y2+z2=(■+t1)2+(■+t2)2+[■-(t1+t2)]2

=■+t12+t22+(t1+t2)2≥■.

點評:一般遇到形如x+y=s的函數時，可設x=■+t，y=■-t;形如x+y+z=a的函數時，可設x=■+t1，y=■+t2，z=■-(t1+t2).