函數的案例教學與教學案例

摘 要: 為了培養能夠解決實際問題的應用型學生，高職經濟數學教學方式需要轉變，本文以函數一章為例，闡述了函數部分改革的思想、方式和相關案例，教會學生建立函數模型，解決實際問題。

關鍵詞: 高職數學 函數 案例教學

高等職業教育培養的是面向社會生產、管理、服務等一線崗位，直接從事解決實際問題的應用型技術人才。為了實現這一培養目標，高職數學教學正在向以培養學生的數學素質為宗旨的能力教育轉變。在這種轉變中，如何改革高職數學教學，盡快提高數學教學質量，讓學生對數學課堂產生興趣，并能應用數學知識解決部分生活中的問題，已經成為一大重點問題和難題。

在眾多的改革隊伍中，我?；A部的數學教研室的教師在積極地對經濟數學的教學模式和教學內容進行大膽的改革。在此次的教學改革過程中，采用了模塊化教學，并且每個模塊由專門的教師負責，從教哪些內容，什么是重點難點，如何教，到實際應用部分(與專業結合)，全權由該教師負責。先由負責每個模塊的教師手寫教學大綱，教學內容，然后試講給其他教師聽，聽取建議后修改，再到試點班級試講，經過多次修改后方可在全校范圍內推行試用。這是一個辛苦而又漫長的過程，對于教師和學校而言都是一次大膽的嘗試。為了更好地工學結合，讓學生用數學知識解決生活問題，我校教師積極地搜集數學模型、教學案例，甚至是到其它專業課教材中尋找與數學掛鉤，能用數學解決的專業問題。以下我們以函數一章為例闡述教學思路和教學過程。

函數的概念高中時學生都已經學過，所以我們在課程安排中只簡單地帶領學生回顧函數的類型及其簡單的圖像，而不作過多的理論說明。我們教學的目標很明確，教會學生學會用函數建立數學模型，將生活中的問題模型化，然后解決問題。本章使用案例教學法，通過案例的講解，模型的建立，教會學生相關問題的解決方案。以下為部分具體案例。

案例一:《中華人民共和國個人所得稅》規定，公民月工資、薪金所得不超過2000元的部分不必納稅，超過2000元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表計算:

(納稅款=應納稅所得額×對應的稅率)

按此規定解答下列問題:

(1)設甲的月工資為5000元，他需繳納稅款多少?

(2)若乙一月份應交所得稅款95元，那么他一月份的工資是多少元?

本題是用列表法表示的分段函數型應用題，解題的關鍵是理解稅率表，要將超2000元部分分段，每段對應不同的稅率，應交稅款是每段稅款之和。

解:先列出函數模型:

f(x)=0(x≤2000)(x-2000)×5%(2000

化簡后得到模型:

f(x)=0(x≤2000)(x-2000)×5%(2000

(1)將x=5000代入f(x)=(x-4000)×15%+175，得到:f(5000)=(5000-4000)×15%+175=325元。

(2)因為95<175，所以選擇代入f(x)=(x-2500)×10%+25;

得到(x-2500)×10%+25=95，x=3200元。

分析:分段函數在現實生活中的運用非常多，比如以時間、重量、距離為計量單位的收費系統，場地租賃費，郵政信函、包裹，行李運輸費的計算，這些都是不同的情況下不同的收費標準，所以需要分段函數來計算。又如商店里面的折扣，購買不同的數量有不同的折扣數，這些都可以通過建立分段函數的模型進行求解，所以教會學生分段函數的建立是函數運用過程中的重要部分。

案例二:外幣兌換與股票交易中的漲跌停板

按某個時期的匯率，若將美元兌換成加拿大元，貨幣值增加12%，而將加拿大元兌換成美元，幣面值減少12%，今有一美國人準備到加拿大度假，他將一定數額的美元兌換成了加元，但后來因故未能成行，于是他又將加元兌換成美元。經過一來一回的兌換，結果白白虧損了一些錢，這是為什么?

解:設x美元可兌換的加元數為y=f(x)，

y加元可兌換的美元數為x=φ(y)。

y=f(x)=x+0.12x=1.12x，

x=φ(y)=y-0.12y=0.88y。

先把x美元兌換成加元，得加元數為f(x)，

再把這些加元兌換成美元，所得美元數應為Z=φ[f(x)]，

即:Z=φ[f(x)]=0.88f(x)=0.88×1.12x=0.9856x

因為y=f(x)與x=φ(y)不是互為反函數，所以不同，若互為反函數，則φ[f(x)]=x，不會虧損。

分析:現實生活中有許多虧與掙的事情發生，如何掙，為什么虧?我們需要用理性的眼光來看待，而直接憑感覺是不行的，感覺在很多時候會欺騙你。我們需要教會學生用數學的理性的眼光看待身邊簡單的問題，然后通過具體的分析來了解這是一個什么過程。上面的案例不僅僅在外幣兌換中經常出現，而且在股票市場中也屢見。上海及深圳證券交易所為抑制股票市場中的過度投機，規定了一只股票在一個交易日的漲停跌幅均不得超過10%的限制，分別稱之為“漲停板”和“跌停板”。若某只股票第一個交易日漲停，而第二個交易日又跌停，則股價并不是簡單地回到原地，而是比上漲前更低了。這其中道理與造成外幣損失的原理是相同的。

案例三:某物業公司策劃出租100間寫字樓，經過市場調查，當每間寫字樓租金每月定為5000元時，可以全部出租;當租金每月增加100元時，就有一間寫字樓租不出去。已知每租出去一間寫字樓，物業公司每月需為其支付300元的物業管理費，求租金與收入的函數模型。

解:設租金定位x元每月，則每月每間收入為x-300元，收入為R(x)，

R(x)=(x-300)(100-)

=(x-300)(150-x)

分析:這也是現實生活中經常遇到的問題，漲價了，固然消費者將減少，當減少的比例一定的情況下(當然這需要有市場調研)，那么什么樣的價格是最合適的，到底能掙到多少?這些都將不再成為難題，可以通過成本、收入及利潤之間的關系得到答案。

案例四:抵押貸款——每月還貸問題

模型:設貸款額為A，月利率為R，抵押貸款期限為N個月，按復利計算，每月還錢x元，還款約定從借款日的下一個月開始。

x=，這是一個非常有用的公式，只需代入貸款數額和月利息率，期限即可很快算出每月需向銀行還多少錢。在這個公式中，可能有人會覺得次方高，無法計算，但其實隨著電腦的普及，我們可以通過點擊電腦的“開始”菜單，然后“程序”→“附件”→“計算器”→“查看”→“科學型”→，就可以很快得到任何高次方的答案。

例:若小王夫婦購買了一套三居室的房子，共50萬，首付了10萬，其余向銀行貸款，申請按揭，銀行的月利息率為0.5%，貸款期限為10年，試問小王夫婦每月要還銀行多少錢?

解:A=400000，R=0.005，N=120，代入x=，

x=≈4439。

答:小王夫婦每月需向銀行交4439元。

分析:目前很多中國家庭都在貸款買房，每月在供房，如何計算房貸，貸款多少錢合適，到底自己還了銀行多少貸款，付出了多少利息錢，都可以通過這個公式求出。又如現在很多商家在進行分期付款的購物促銷，表面上每個月只需幾百就可以購買幾千甚至幾萬的商品，但實際上這樣是否劃算，也可以代入上面的公式進行計算。將自己的財務狀況掌握在自己手中，而不是僅靠銀行或者商家來計算，等待著別人說要交多少錢就多少錢，這才是現代理性人的精明財務頭腦。

以上案例僅僅為函數這章教學改革中的部分案例，除此以外，我們還安排了常用經濟函數(成本、收入、利潤、需求、供給函數)，計算單利、復利、貼現及物流中一致性存貯模型等的專題講座，在教學的過程中，我們采用案例教學，用生活中常見的例子來建立函數模型，不僅吸引了學生學習的興趣，而且教會了學生如何利用數學來解決生活中的實際問題，除此以外，我們還鼓勵學生提出生活中的問題，嘗試著用數學思維來解答，讓學生主動去思考和探索，不再是被動地接收知識，而是自己動腦思考，動手計算，大大增強了學生運用數學模型解決實際問題的能力。

我們的研究還是初步的，我們將在以后每章的教學內容、教學方法等方面不斷進行改革探索，為提高高職數學教學的教學質量而不懈努力。

參考文獻:

[1]李心燦.高等數學應用205例.高等教育出版社，2005.

[2]楊桂元.數學模型應用實例.合肥工業大學出版社，2007.

課題項目:“十一五”科研規劃課題《基于應用型人才培養的高職數學教學改革實踐研究》教機職字2009310號