再談關于歐氏空間的線性變換

摘 要: 本文討論了歐氏空間中的變換在滿足一定的內積關系的條件下能夠成為線性變換的問題，并由此得到一些相關結論。

關鍵詞: 歐氏空間 內積 變換 線性變換

歐氏空間的變換在滿足一定的內積關系的條件下，能夠成為線性變換的問題，在文獻[1]—[8]中都有所討論。本文對此作進一步的討論，并由此得到一些相關結論。

定義1:線性空間V的一個變換A稱為線性變換，如果對于V中的任意元素α，β和數域P中的任意數k，都有A(α+β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α)。

引理1:設A是數域P上線性空間V的一個變換，則A為V的線性變換的充要條件是:對于α，β∈V，k∈P，有:A(α+kβ)=A(α)+kA(β)。

證明:必要性顯然成立。再證充分性，由條件有:

A(θ)=A(θ+(-1)θ)=A(θ)+(-1)A(θ)=θ，(θ為零向量)

所以，對于α，β∈V，k∈P有:

A(kβ)=A(θ+kβ)=A(θ)+kA(β)=kAβ，

A(α+β)=A(α+1β)=A(α)+1A(β)=A(α)+A(β)，

由線性變換的定義知A為V的線性變換。

定義2:設V是實數域R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作(α，β)，它具有以下性質:

1)(α，β)=(β，α);

2)(kα，β)=k(α，β);

3)(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ);

4)(α，α)≥0，當且僅當α=0時(α，α)=0。

這里α，β，γ是V中任意的向量，k是任意實數，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間。

引理2:設α，β為歐氏空間V的兩個向量，如果對于任意的向量γ∈V，都有:(α，γ)=(β，γ)，則α=β。

證明:(略)。

定義3:設A是歐氏空間V的一個線性變換，如果對于任意α，β∈V，都有:(Aα，β)=(α，Aβ)，則稱A是V的一個對稱變換。

引理3[7]:歐氏空間V的變換T是線性變換的充分必要條件是存在V的變換T，對于α，β∈V，有:(Tα，β)=(α，Tβ)，④

進而當T是線性變換時，T也是線性變換。

引理4[7]:設T是n維歐氏空間V的一個線性變換，T關于V的一個標準正交基的矩陣為A，則T(T滿足④式)關于這個基的矩陣為A。

主要結論:

定理1:n維歐氏空間V的變換T是線性變換的充分必要條件是存在V的變換A，使得對于α，β∈V，有:(Tα，Tβ)=(α，β)+(Aα，β)+(α，Aβ)，⑤

并且當T是線性變換時，A也是線性變換。

證明:先證充分性，因為T、A是歐氏空間V中的變換，所以由文獻[6]定理2可知T、A為V中的線性變換。

再證必要性，若T是V中的線性變換，則由引理3可知存在V的線性變換T，對于α，β∈V，有:(Tα，β)=(α，Tβ)。

設γ，γ，…，γ是V的一個標準正交基，T關于這個基的矩陣為T，而由引理4可知T T關于基γ，γ，…，γ的矩陣為。

取矩陣A滿足TT=E+A+A，(E為單位矩陣)⑦

矩陣A滿足⑦式。

因此在取定滿足⑦式的矩陣A后，我們可以在V中找到唯一的線性變換A，使得A關于基γ，γ，…，γ的矩陣為A，另外由引理3可知存在V的線性變換A，對于(α，β)∈V，有:

(Aα，β)=(α，Aβ)，

其中，根據引理4可知A關于基γ，γ，…，γ的矩陣為A，

于是有TT=E+A+A。

下證A滿足⑤式，對于α，β∈V，

(Tα，Tβ)=(α，(TT)β)=(α，(E+A+A)β)

=(α，β)+(α+Aβ)+(α，Aβ)

=(α，β)+(α+Aβ)+(Aα，β)。(證畢)

定理2:設A，B，T，U為歐氏空間V的變換，若對α，β∈V，有

(Tα，Uβ)=(α，β)+(Aα，β)+(α，Bβ)，②

那么，

(1)當A，B為V上的線性變換，而U為滿射時，則T為V的線性變換;

(2)當B，T為V上的線性變換時，則A為V的線性變換;

(3)當A，U為V上的線性變換時，則B為V的線性變換。

證明:(1)對于任意的α，β，γ∈V，k∈R，由于U為滿射，故對于V中任意向量γ，必存在V中的向量γ，使得Bγ=γ，于是

(T(kα+β)，γ)=(T(kα+β)，Uγ)

=(kα+β，γ)+(A(kα+β)，γ)+(kα+β，Bγ)

=k(α，γ)+(β，γ)+k(Aα，γ)+(Aβ，γ)+k(α，Bγ)+(β，Bγ)

=k(α，γ)+k(Aα，γ)+k(α，Bγ)+(β，γ)+(Aβ，γ)+(β，Bγ)

=k(Tα，Uγ)+(Tβ，Uγ)=(kTα+Tβ，Uγ)=(KTα+Tβ，γ)

由引理2及γ的任意性知:

T(kα+β)=kTα+Tβ，

從而，T是V的一個線性變換。

(2)由②式得:(Aα，β)=-(α，β)+(Tα，Uβ)-(α，Bβ)，

因此對于任意的ξ，η，γ∈V，k∈R，

有(A(kξ+η)，γ)=-(kξ+η，γ)+(T(kξ+η)，Uγ)-(kξ+η，Bγ)

=-k(ξ，γ)-(η，γ)+k(Tξ，Uγ)+(Tη，Uγ)-k(ξ，Bγ)-(η，Bγ)

=-k(ξ，γ)+k(Tξ，Uγ)-k(ξ，Bγ)-(η，γ)+(Tη，Uγ)-(η，Bγ)

=k(Aξ，γ)+(Aη，γ)=(kAξ+Aη，γ)

由引理2知:

A(kζ+η)=kAζ+Aη，

從而，A是V的一個線性變換。

(3)證法同(2)。(證畢)

參考文獻:

[1]楊子胥.內積關系與正交變換、對稱變換、反對稱變換[J].數學通報，1993，1:25-26.

[2]彭明海，彭學梅.談歐氏空間中的變換和線性變換[J].數學通報，1998，1:42-43.

[3]楊忠鵬.歐氏空間中與內積相關的線性變換[J].南都學壇(自然科學版)，1994，15，(3):5-9.

[4]劉桂香.歐氏空間中的線性變換[J].南都學壇(自然科學版)，1996，16，(6):11-12.

[5]郝秀梅，楊子胥.歐氏空間中的變換和線性變換[J].數學通報，1996，12:29-31.

[6]袁暉坪.歐氏空間的內積與線性變換[J].渝州大學學報(自然科學版)，1998，15，(3):2-5.

[7]高麗.歐氏空間的變換為線性變換的充要條件[J].濱州師專學報，2002，18，(2):13-15.

[8]劉寧.歐式空間的內積關系與線性變換[J].廣西師范學院學報(自然科學版)，2003，20，(2):49-50.