數(shù)學(xué)中的辯證法

要真正掌握好“數(shù)學(xué)辯證法”，僅僅知道一些數(shù)學(xué)知識(shí)還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還必須善于發(fā)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的關(guān)系，建立和運(yùn)用它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。唯其如此，才能發(fā)揮出蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)中的辯證思維的力量。數(shù)學(xué)中許多計(jì)算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關(guān)系并對他們進(jìn)行過適宜的轉(zhuǎn)化而成的。這類事例在數(shù)學(xué)中比比皆是。

1.事物是發(fā)展變化的，矛盾是事物發(fā)展的源泉和動(dòng)力

這一原理在數(shù)的概念的發(fā)展過程中體現(xiàn)得淋漓盡致:剛?cè)雽W(xué)的小學(xué)生首先接觸的是非負(fù)整數(shù)，然而在非負(fù)整數(shù)范圍內(nèi)，減法運(yùn)算受到限制，于是引入了負(fù)數(shù)，擴(kuò)展到整數(shù);在整數(shù)范圍內(nèi)，除法運(yùn)算受到限制，于是引入分?jǐn)?shù)，擴(kuò)展到有理數(shù);在有理數(shù)范圍內(nèi)，出現(xiàn)了開方開不盡的問題，于是初中數(shù)學(xué)引入了無理數(shù)，擴(kuò)展到實(shí)數(shù);在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)不能開偶次方，于是高中數(shù)學(xué)引入了虛數(shù)，擴(kuò)展到復(fù)數(shù)。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)展，無一不是解決矛盾的過程。

2.對立統(tǒng)一規(guī)律

在數(shù)學(xué)中的六種運(yùn)算上:加法與減法本是對立的，但“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，加上一個(gè)數(shù)等于減去這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”把兩種運(yùn)算合二為一;乘法與除法本是對立的，但“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，乘以一個(gè)數(shù)等于除以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”把乘法與除法合二為一;分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入，把乘方與開方兩種對立的運(yùn)算合二為一;而引進(jìn)對數(shù)后，乘方、開方統(tǒng)一于乘、除，乘、除都統(tǒng)一于加法。另外這一規(guī)律在橢圓和雙曲線上也有充分體現(xiàn):“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F距離之和等于常數(shù)(大于|FF|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓”;“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F、F距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于 |FF|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線”。這兩個(gè)概念形式上是對立的，本質(zhì)上卻又可統(tǒng)一為“平面內(nèi)與定點(diǎn)F和一條定直線l的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”。又如三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，……n邊形內(nèi)角和是(n-2)×180°。如果看外角呢?三角形外角和是360°，四邊形外角和是360°，……，n邊形外角和是360°。這就把多種情況用一個(gè)十分簡單的結(jié)論統(tǒng)一起來了。

3.事物的相互聯(lián)系構(gòu)成運(yùn)動(dòng)

以梯形的面積公式(其中a為梯形的上底，b為梯形的下底，h為梯形的高)為例加以說明:當(dāng)a=0時(shí)，就變成了三角形的面積公式;當(dāng)a=b時(shí)，就變成了平行四邊形的面積公式;進(jìn)而還可以推出矩形的面積公式和正方形的面積公式，這些都體現(xiàn)出了事物的相互聯(lián)系，同時(shí)呈現(xiàn)出一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另外，圓錐曲線的統(tǒng)一定義“平面內(nèi)與定點(diǎn)F和一條定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡”中，e的變化決定著曲線的形狀，當(dāng)01時(shí)，是雙曲線，這仍然是這一觀點(diǎn)的體現(xiàn)。

4.質(zhì)量互變規(guī)律

量變和質(zhì)變是事物變化的兩種形式或兩種狀態(tài)。量變就是事物量的變化，即數(shù)量的增減和場所的變動(dòng)。質(zhì)變就是事物性質(zhì)的變化，是由一種質(zhì)態(tài)向另一種質(zhì)態(tài)的轉(zhuǎn)變。量變和質(zhì)變的關(guān)系是辯證的，是對立的統(tǒng)一。量的分割達(dá)到一定的程度，就產(chǎn)生了不同質(zhì)的物質(zhì)體。恩格斯曾經(jīng)說過:“純粹的量的分割是有一個(gè)極限的，到了這個(gè)極限它就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的差別。”

例如:利用圓內(nèi)接正多邊形的面積求圓的面積。當(dāng)多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形的面積和圓的面積越來越接近。要完成這種從多邊形到圓的過渡，就要求人們在觀念上，在思考方法上要有一個(gè)突破。這里的困難就在于多邊形的周界是一些直線段，而圓的周界是處處彎曲的，即面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾，唯物辯證法認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以互相轉(zhuǎn)化。

5.否定之否定規(guī)律

數(shù)學(xué)中的反證法是一種重要的證明方法，實(shí)質(zhì)上就是一種逆向思維方法，體現(xiàn)了辯證法的否定之否定規(guī)律。這里應(yīng)當(dāng)提到的是，數(shù)學(xué)中的否定之否定不能簡單地、狹義地僅僅理解為負(fù)負(fù)得正或非非為是，其本質(zhì)涵義為在克服與保留中循環(huán)發(fā)展，在繼承與突破中螺旋上升。如指數(shù)概念在否定之否定(繼承、發(fā)展、螺旋上升)中從正整指數(shù)擴(kuò)充到零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)、分指數(shù)、負(fù)分指數(shù)、實(shí)數(shù)指數(shù)、復(fù)數(shù)指數(shù)。

恩格斯說:“數(shù)學(xué)，辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式。”在數(shù)學(xué)中到處都有著辯證法思想的存在，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注意用辯證的觀點(diǎn)來闡述問題，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義思想教育，加強(qiáng)辯證思維能力培養(yǎng)，從而完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。這不僅有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解和對數(shù)學(xué)方法的熟練掌握，而且有助于他們認(rèn)識(shí)自然，認(rèn)識(shí)社會(huì)，認(rèn)識(shí)人生，使之形成良好的思維品質(zhì)和科學(xué)的世界觀。