關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性探究

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。

一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究

定理1.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a，b)對(duì)稱的充要條件是:f(x)+f(2a-x)=2b。

證明:(必要性)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)，P′(2a-x，2b-y)也在y=f(x)圖像上，∴2b-y=f(2a-x)，即y+f(2a-x)=2b，故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得證。

(充分性)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y=f(x)。∵f(x)+f(2a-x)=2b，∴f(x)+f(2a-x)=2b，即2b-y=f(2a-x)。故點(diǎn)P′(2a-x，2b-y)也在y=f(x)圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A(a，b)對(duì)稱，充分性得征。

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f(x)+f(-x)=0。

定理2.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)。

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f(x)= f(-x)。

定理3.①若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a，c)和點(diǎn)B(b，c)成中心對(duì)稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a，c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱(a≠b)，則y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明:

∵函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a，c)成中心對(duì)稱，

∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x得:

f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)

又∵函數(shù)y=f(x)圖像直線x=b成軸對(duì)稱，

∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:

f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得:

f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:

f(x)=f[4(a-b)+x]，故y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期。

二、對(duì)不同函數(shù)對(duì)稱性的探究

定理4.函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a，b)成中心對(duì)稱。

定理5.①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱。

②函數(shù)y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱。

③函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③。

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y=f(x)。記點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P′(x，y)，則x=a+y，y=x-a，∴x=a+y，y=x-a代入y=f(x)之中得x-a=f(a+y)，∴點(diǎn)P′(x，y)在函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上。

同理可證:函數(shù)x-a=f(y+a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論:函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對(duì)稱。

三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表

注:①上表中k∈Z。

②y=tanx的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ/2，0)。

四、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1:定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足:f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定是()。

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解:∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)=f(10-x)，∴f(x)有兩條對(duì)稱軸x=5與x=10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x=0，即y軸也是f(x)的對(duì)稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)。

故選(A)。

例2:設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-1)和g(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若g(5)=1999，那么f(4)=( )。

(A)1999(B)2000(C)2001(D)2002。

解:∵y=f(x-1)和y=g(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴y=g(x-2)反函數(shù)是y=f(x-1)，而y=g(x-2)的反函數(shù)是:y=2+g(x)，∴f(x-1)=2+g(x)，∴有f(5-1)=2+g(5)=2001，故f(4)=2001，應(yīng)選(C)。

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，

f(x)=-x，則f(8.6)=。

解:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴x=0是y=f(x)對(duì)稱軸。又∵f(1+x)=f(1-x)∴x=1也是y=f(x)對(duì)稱軸。故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3。

例4.函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是()(1992全國(guó)高考理)。

(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=

解:函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是2x+=kπ+，∴x=-π，顯然取k=1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x=-，故選A。

例5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=()。

(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5

解:∵y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)(0，0)是其對(duì)稱中心。又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1-x)，∴直線x=1是y=f(x)對(duì)稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5，故選B。