蘇教版小學數學教材中滲透函數思想的分析研究

摘 要: 數學新課程把函數思想作為貫穿中小學數學的一個重要思想，教材作為課程實施的載體，系統地挖掘并整理小學數學教材中蘊含函數思想的因素，對提高小學教師對教材中函數思想的認識，進而在教學中有效地滲透函數思想具有重要的意義，進一步體現新課程改革的理念，使小學數學和中學數學有更好的銜接。

關鍵詞: 蘇教版小學數學教材 函數思想 呈現方式

在新課程改革的背景下，《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》中提出一些重要的數學概念與數學思想方法應根據學生的心理特征、知識背景和所學知識的特點循序漸進、螺旋上升。函數思想作為貫穿中小學數學的一個重要思想，雖然在小學階段并沒有出現函數概念，但蘇教版小學數學教材中的很多內容都滲透了函數思想。教材中所蘊含的函數思想主要體現在:對應關系、數列和圖形的排列規律、運算性質和計算公式、用字母表示數、正反比例、統計圖表這些知識板塊中，在這些知識的呈現方式上隨著年級的增高抽象化程度逐步增強。

1.對應關系

變化和對應的思想是函數思想的本質，低年級滲透的對應思想主要借助實物等一些具體的模型，使學生直觀地感受對應關系，中高年級滲透的對應思想主要是抽象的數與數之間的對應。

如:一年級:數一數，名數與常數之間的一一對應，認數，借助實物將同樣多的部分建立一一對應關系，讓學生體驗大于或小于;借助小棒建立不同計數單位之間的對應關系，讓學生領悟十個一是一個十。二年級:認識乘法，由一個加法算式對應兩道乘法算式。三年級:24時計時法與普通計時法一一對應，軸對稱圖像上的點關于對稱軸一一對應。四年級:在折線統計圖中數據與統計圖中的點一一對應。五年級:點的位置和它的坐標一一對應。在表現形式上，既有以圖解的形式體現對應關系，使學生直觀的體驗到“像”與“原像”之間的“一一對應”;又有以數軸的形式體現對應關系，使學生感受到越靠近右端數越大。

2.圖形(數)的排列規律

“探索規律”是新課程小學數學教材“數與代數”領域內容的一部分，《標準》把“探索規律”作為滲透函數思想的一個重要方面，“探索規律”實際上就是培養學生的“模式化”思想，發現規律就是發現一個“模式”。

如在一、二年級:各種圖形按照邊數的變化、周期性的排列，按照顏色變化規律的排列，一年級下冊:百數表中的規律，在百數表中除了可以探索數的排列規律(橫著、豎著、斜著)外，還可以進一步探索每一行中相鄰的兩個數的規律、每一列中相鄰兩個數的規律，甚至每兩行與每兩列相鄰四個數之間的規律，這些規律中蘊含著多種變化的模式。各冊教材中出現的找規律填數，也能讓學生體會簡單數列排列的規律，而數列的本質就是定義域在自然數集上的函數。

3.運算性質

在小學數學中，運算是主要的內容之一，各種運算性質中都滲透了函數思想。低年級主要借助計算表讓學生發現加法、減法、乘法口訣中的規律。高年級讓學生自己探索小數乘除法的運算規律。

如:一年級上冊，10以內的加法表，豎著看，學生可以發現在一個加數不變的條件下，和與另一個加數的變化是有規律的;橫著看可以發現，在和不變的條件下，另兩個加數都變，而且變化也是有規律的。二年級上冊，在乘法口訣的學習中就自然而然地對“乘法中的運算規律”進行了探索，乘法口訣的學習是一串一串的，學生很容易就發現“一個因數不變，積隨著另一個因數的變化而變化”的規律。五年級上冊，在小數乘法的學習中，學生從另一個角度領悟乘法運算中的規律，即“一個因數不變時，另一個因數大于1時，積大于這個因數;另一個因數小于1，積小于這個因數;另一個數越接近1，積就越接近這個因數。”小數除法的學習中，學生不僅可以發現“除數小于1(且大于0)，商會大于被除數;除數大于1，商小于被除數;除數越接近1，商越接近被除數”的規律，而且會體會到，當被除數不變時，除數縮小n倍，商反而擴大n倍;當除數不變時，被除數縮小n倍，商也縮小n倍。

4.計算公式

學生從三年級既學習長、正方形的周長公式開始，又學習了長、正方形面積公式;平行四邊形、三角形、梯形面積公式;長、正方體表面積和體積公式;圓的面積周長公式;圓柱的表面積體積公式;圓錐的體積公式。這些圖形的周長、面積和體積公式實質上都是用解析式表示的變量之間的函數關系式，如圓的周長是半徑的一次函數C=2πr，圓面積則是半徑的二次函數S=πr2，長方形的周長和面積都是長與寬的二元函數。另外，在解決實際問題中出現的一些數量關系:如單價×數量=總價;在單價不變的情況下，總價是數量的一次函數，這些計算公式給了學生對多元函數自變量與因變量之間關系的感受。

5.用字母表示數

變與不變是函數思想的重要內涵，也是用字母表示數的價值所在，在例1中，當揭示擺a個三角形需用小棒的根數是a×3后，教師可以問:在a×3這個式子中，誰在變化、誰沒有變?三角形的個數還可以用什么字母來表示?還可以用什么樣的算式表示小棒根數?讓學生體會同一個數量可以用不同的字母來表示。通過對例1和例2的比較，學生能感受同一字母在不同的情景中可以表示不同的數。在想想做做第三題中可以讓學生體會:在同一題中不同的數要用不同的字母表示，經過這三個環節的教學，在變與不變中滲透函數思想，體現用字母表示數的價值，為學生的進一步學習打好基礎。

6.統計圖表

統計圖直觀地反映了數量的變化趨勢，折線統計圖在刻畫連續量時，比條形統計圖更全面、更直觀地反映了數量的整體性和變化性，因此折線統計圖可以看做是一種函數表達式是分段函數的特定的函數圖像。折線統計圖不僅可以反映數量增加的變化，可以通過折線的下降傾斜程度反映數量減少的變化，四年級教材中呈現的折線統計圖，讓學生對氣溫變化的情況變得直觀形象;教師也可以布置讓學生利用溫度計，從6∶30—18∶30每隔兩小時記錄一次溫度，并繪制成折線統計圖的作業，讓學生在操作的過程中體會數量的增減變化。

7.正反比例

正比例和反比例關系是最常見和最基本的函數關系，因此正比例和反比例是滲透函數思想的重要內容，教材首先借助表格讓學生初步感知兩種相關聯的量和成正比例的量的含義，然后用字母表示數量，每個實例里都有兩個相關聯的量，分別是路程和時間或者總價與數量，兩個量的比的比值分別是速度和單價，用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，然后把路程/時間=速度(一定)、總價/數量=單價(一定)表示成y/x=k(一定)，并指出正比例關系可以用這個字母式子表示，最后用圖像直觀表達正比例關系。例2是按照《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》的要求“根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖，并根據其中一個量的值估計另一個量的值”編排的，雖然圖像與真正的函數圖像有一些差別，如只有第一象限的圖像，橫軸與縱軸的單位長度不統一，但學生仍可以初步感受到成正比例的兩個量的變化是連續的，因此這些并不影響學生借助圖像體驗變量間的關系。反比例的教學首先也是以表格的形式呈現，并用語言描述，然后用解析式表示，最后用圖像表達，綜合運用函數的四種表示方法，使學生對函數有了更深入的了解。

小學數學中滲透的函數內容注重對函數思想的多角度理解，在第一學段，主要是以圖像、表格的形式滲透函數思想，在第二學段，學生掌握了長方形，平行四邊形等圖形的計算公式，掌握了一些解決實際問題的數量關系，這些計算公式實際上就是一些簡單的函數解析式。到了六年級，正、反比例的意義是滲透函數思想的重要內容，教材首先借助表格直觀地呈現兩個變量之間的對應關系，接著用語言解釋其含義，最后用代數式來表示，使得直觀圖形—代數式—語言描述三者之間有機結合，使學生對函數有了一個系統地認識?？傊瘮邓枷氲臐B透是隨著學生已有知識經驗的積累、能力的提高逐步加深的。

《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》在總目標中提出:獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識(包括數學事實、數學活動經驗)以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。因此在小學階段滲透函數思想，是實現義務教育數學課程總體目標的需要，但由于函數的抽象性與小學生思維發展的直觀性之間的矛盾，教師在教學中應抓好契機，把握滲透的可行性，根據知識的內在聯系與遷移規律，從聯系、發展的角度分析與處理教材，做一些有利于知識銜接的滲透，主要是讓學生體驗函數思想，而不宜提出過高的要求。

參考文獻:

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)[M].北京:北京師范人學出版社，2001.