二維同素射影變換不變元素的性質

摘 要: 射影平面上的直射變換至少存在一個不變點和一條不變直線;不變點和不變直線的數目相同;兩個不變點的連線一定是不變直線，兩條不變直線的交點一定是不變點;非恒等的直射變換最多只能有三個不共線的不變點;當直射變換至少有三個不共線的不變點時，不變點兩兩的連線就是所有的不變直線。

關鍵詞: 二維同素 射影變換 不變元素 射影平面 性質

射影平面上的射影變換有同素變換和異素變換，同素變換即為直射變換，是將點變成點，將線變成線;異素變換即為對射變換，是將點變成線，將線變成點。

1.不變元素

直射變換的表達式[1]:ρx′=ax+ax+axρx′=ax+ax+axρx′=ax+ax+ax (ρ≠0)……(1)，用矩陣表為ρX′=AX，其中X′=x′x′x′，A=a?搖a?搖?搖aa?搖?搖a?搖?搖aa?搖a?搖?搖a，X=xxx。在直射變換T:S→S下，若存在元素M∈S，使得T(M)=M，則稱M為此變換的不變元素。不變元素包括不變點和不變直線，由不變點構成的直線都是不變直線，但不變直線上的點不一定都是不變點。

2.射影變換不變元素的性質

性質1:射影平面上的直射變換至少存在一個不變點和一條不變直線[2]。

證明:設直射變換ρX′=AX的不變點為x(x，x，x)，其坐標矩陣為X=xxx，則滿足ρX=AX，即不變點x滿足方程(A-ρE)X=0……(2)。

方程(2)稱為不變點方程組，其有非零解的充要條件是|A-ρE|=0……(3)，

方程(3)稱為特征方程，是一個關于特征根ρ的一個三次代數方程，由于△(0)=det(a)≠0，故它至少有一個非零實根，將此實根代入(2)，則可求得至少一個不變點。

由對偶原理，直射變換至少存在一條不變直線。

不變直線方程組為(A-μE)K=0……(4)。

其特征方程為|A-μE|=0……(5)。

性質2:不變點和不變直線的數目相同[3]。

證明:由性質1，不變點方程組(A-ρE)X=0……(2)，不變直線方程組(A-μE)K=0……(4)，由它們的特征方程|A-ρE|=0和|A-μE|=0求得的特征根完全相同。將特征根代入(2)和(4)，求得相同數目的不變點和不變直線。

性質3:兩個不變點的連線一定是不變直線，兩條不變直線的交點一定是不變點[4]。

證明:如圖1，在直射變換T下，兩個不變點為a，b，

∴T(a)=a，T(b)=b。

任取點a和b連線δ上一點x，令T(x)=x′，由直射變換性質:直射變換保持點和直線的結合性不變，將共線點變成共線點，原像a，b，x共線，其像a，b，x′也共線，故δ是不變直線。

如圖2，在直射變換T下，兩條不變直線ξ，η的交點為m，設在ξ上，T(m)=m′，在η上，T(m)=m″，若m′與m″不同，與直射變換是雙射矛盾，故m′≡m″。因為m′既在直線ξ上，又在直線η上，所以為兩直線的交點m，所以m為不變點。

性質4:非恒等的直射變換最多只能有三個不共線的不變點。

證明:設射影平面上的非恒等的直射變換T:S→S有四個每三點不共線的不變點，將此四點取為標架的三個基點和單位點o，o，o，e，故直射變換使得:(1，0，0)→(1，0，0)，(0，1，0)→(0，1，0)，(0，0，1)→(0，0，1)，(1，1，1)→(1，1，1)。分別將它們代入(1)式，可以求出a=ρ，a=0(i≠j，i，j=1，2，3)，從而滿足條件的變換T為:ρx′x′x′=1?搖0?搖00?搖1?搖00 ?搖 0 1 xxx，此為恒等變換，與條件矛盾，所以T最多只能有三個不共線的不變點。

性質5:當直射變換有三個以上的不變點，且存在三個不共線的不變點時，不變點兩兩的連線就是所有的不變直線。

證明:設直射變換T有三個不共線的不變點a，b，c，下證任一不變直線k也必是兩不變點的連線。

如圖3，因為a，b，c是不變點，由性質3知三點形abc的三邊都是不變直線。任一不變直線k必與該三點形的邊至少交于兩個不同的點i，j，而i，j為兩不變直線的交點，故為不變點，這時直線k仍為兩不變點的連線。故結論成立。

參考文獻:

[1]梅向明.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，2000.

[2]羅崇善，龐朝陽，田玉屏.高等幾何[M].高等教育出版社，1999:85-88.

[3]郭玉琳.射影平面上不動元素的若干性質[J].高等數學研究，2005，(1):47-48

[4]牛曉奇.二維射影變換二重元素的結構及其特征[J].安陽師范學院學報，2001:24-25.