高等數學中一般化化歸思維方式的應用

摘 要: 一般化化歸是化歸方法論中一種基本思維方式，不僅為研究高等數學問題提供了一種基本思想，而且是創新的數學理論的一種基本方法。

關鍵詞: 高等數學 一般化化歸 化歸思維 應用

將待解決的具體問題通過轉化歸結到已經解決或者比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答，是研究數學問題時常用的思維方式。雖然研究的具體問題各不相同，解決問題的方法也相互迥異，但其思維方式是相似的，即研究問題的思維過程是避開對問題的正面進行研究，而將研究的問題進行不斷的轉化，將其歸結為已經解決或者相對容易解決的問題。

這種思維方式我們稱之為“化歸”，化歸的含義是指轉化與歸結，是在不同的具體問題之間實現從未知到已知、從困難到容易，從復雜到簡單的某種轉化，并在具體問題之間建立對應關系。化歸思想是數學方法論中的基本方法之一，同時也是自然科學中尋找真理、發現真理與解決問題的典型創新思維方法。

數學中比較常用的化歸思維方法是一般性化歸。一般性和特殊性是自然界物質存在的普遍性質:一般性論述了相似問題所具有的共性，揭示了相關數學概念、問題之間的聯系;特殊性論述了具體問題、概念所具有的特有的特征，反映了特定數學概念、問題本質屬性。相對于一般性而言，特殊性使問題表現得具體、直觀和簡單，并為人們所熟知。相對于特殊性而言，一般性比特殊性更能反映出本質，具有深刻的意義，使人們能在更為廣闊的領域內使用更高層次上的思想和方法去分析研究問題。

通過辯證法思想可知，一般性存在于特殊性之中。根據這一思想，在研究數學問題、學習數學概念時，應該分析與考慮能否將待解決的數學問題化歸為一般性問題去研究和思考。這種思維方式是可行的，從特殊的數學問題中去發掘問題一般性的特征，且該特征為人們所熟悉，這種思維方式稱為由特殊到一般的化歸，簡稱為一般化化歸。

一般化化歸思維方式在高等數學中有著極其廣泛的應用，是創新新理論的基本方法之一。現以Fermat定理為基礎，證明Roll中值定理及Lagrange的關系為例，來研究化歸思想中的一般化在解決數學問題的應用。

Fermat定理:若函數在點的鄰域內有定義，且在點可導。若為f的極值點，則有f′(x)=0。

Roll中值定理:若函數f(x)滿足如下條件:

1)f(x)在閉區間[a，b]上連續;2)f(x)在開區間(a，b)內可導;3)f(a)=f(b)，則在[a，b]內至少存在一點ξ，使f′(ξ)=0。

分析:定理的結論:在[a，b]內至少存在一點ξ，使f′(ξ)=0。考慮一般性:根據導數概念，若在[a，b]上f(x)=C(常數)，則結論成立;根據Fermat定理，若在[a，b]上至少存在一個極值點，則結論同樣成立。綜上所述，從而得到如下的證明方法。

證明:

(1)若f(x)=C(C為常數)，則?坌ξ∈f(x)，恒有f′(ξ)=0。

(2)若f(x)≠C，因為f(x)在閉區間[a，b]上連續，由最值定理，f(x)在閉區間[a，b]必然存在最大值M和最小值m，且至少一個不在端點處取得。不妨設最大值不在端點處，則最大值必是極大值，令f(ξ)=M，由Fermat定理，f′(ξ)=0。證畢。

運用一般化思維方式對Roll中值定理思考，不僅讓我們清楚地得到該定理的結論，而且為我們證明數量關系提供了方法。事實上，依據自身知識結構，運用一般化思維方式不僅能夠解決復雜的數學問題，而且可以對已有的概念、定理，減少、改變、弱化條件創新出更多的概念、定理。例如，將Roll中值定理的條件3)去掉，便得到了Lagrange中值定理。

一般化思維方式創新過程如下:

(1)在閉區間[a，b]上連續;(2)在開區間(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，(ξ與a，b有關)，使得f′(ξ)=。

Lagrange定理的幾何意義:因為右面表示連接端點A(a，f(a))，B(b，f(b))的線段所在直線的斜率，定理表示，如果f(x)在[a，b]上連續，且除端點A，B外在每一點都存在切線，那么至少有一點P(ξ，f(ξ))處的切線與AB平行。

與Roll定理(圖1)比較，可以發現Lagrange定理(圖2)，是羅爾定理把端點連線AB由水平向斜線的推廣，是將Roll定理一般化化歸的結果。

下面我們再用一般化化歸來研究個例題。

例題:設函數f(x)在閉區間[a，b]上可導，證明:對于?坌x∈(a，b)，?堝c∈[f′(a)，f′(b)]，使得f′(x)=c。

分析:問題的結果:對于?坌x∈[a，b]，?堝c∈[f′(a)，f′(b)]，使得f′(x)=c;考慮一般性:根據問題條件，顯然與微分中值定理較為相似，但又有所不同，微分中值定理的結論在開區間(a，b)成立，該問題的結果在閉區間[a，b]成立。考慮f′(x)=c可以化為f′(x)-c=0，則可將問題化歸為可用Fermat定理求解的問題。

證明:不妨設f′(a)0，故x=a在的某個右領域和x=b的某個左領域內任意一點的函數值分別小于F(a)和F(b)，即有a

針對每一個具體研究的問題如何去具體實現一般化化歸過程，以及能否依靠一般化化歸原則解決問題，這既要在總體上作多方面的探索，又要在具體實現一般化化歸的過程中有種種創新思維的運用。也就是說，在實現一般化化歸的過程面臨著如何尋找正確的化歸途徑與怎樣選擇恰當的轉化手段，這主要取決于研究問題人對于問題的認識程度和其所具備的知識結構。

參考文獻:

[1]盛祥耀.高等數學.北京:高等教育出版社，2007.

[2]邵劍.高等數學專題梳理與解讀.上海:同濟大學出版社，2008.