平面圖形到立體圖形的推廣

在處理空間問題時，教師往往為了方便研究和簡化討論，把它轉(zhuǎn)化為平面問題。在教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力，教師又通常把平面上一些問題進行演變和推廣，在空間深入研究，從中探索和發(fā)現(xiàn)平面、空間問題的內(nèi)在聯(lián)系。

先看一道常見的平面幾何問題。

例1.正三角形ABC內(nèi)任一點到三邊距離之和等于正三角形的高。

證明:設(shè)正三角形ABC邊長為a，正三角形內(nèi)一點記為P，連PA，PB，PC，

這題有很多種證法，但是上述做法的優(yōu)點是很容易推廣到立體圖形。

例2.求證:從內(nèi)任一點到四個面的距離之和等于正四面體的高。

證明:設(shè)M是正四面體A-BCD內(nèi)一點，

M到面ABC，DAB，DBC，DCA的距離分別為x，y，z，t，

正四面體的高為h。

因為正四面體的每個面的面積相等，

記為S體積記為V。

M把正四面體分為4個部分，

所以x+y+z+t=h。

在平面幾何中，△ABC的邊AB和AC上分別取它們的中點E、F，EF的連線叫做△ABC的中位線，有:EF∥BC，且EF=BC。

對應(yīng)中位線，先考慮半面線，在△ABC的邊AB和AC上分別取B′、C′，則BC∥B′C′，且稱B′C′為△ABC的半面線。

易見，四面體A-BCD的三個側(cè)面的半面線成一個三角形，稱之為四面體A-BCD的中位面。

例3.四面體A-BCD的中位面△BC′D′平行于底面△BCD，證明:

證明:由BC∥B′C′，CD∥C′D′，DB∥D′B′，

我們發(fā)現(xiàn)平面幾何與立體幾何存在著很多內(nèi)在的聯(lián)系，再來看一個例子。

例4.在△BCD中，若BC和CD邊上的高交于A點，求證:CA為BD邊上的高。

這道題可以用向量的知識簡單的證明，只要證明即可，證明如下:

例5.四面體A-BCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求證:AC⊥BD。

證明:過A點作AE⊥面BCD，連接BE，CE，DE，

則AE⊥CD。

又因為AB⊥CD，AE∩AB=A，

所以CD⊥面ABE。

又BE?奐面ABE，

所以CD⊥BE。

同理可證DE⊥BC。

由例4可知CE⊥BD。

由射影定理得:AC⊥BD。

對于例5，我們可以看成是例4三角形中點A拉升出平面BCD的特殊情形。

如上所述，我們在處理任何問題時，要盡量多一點想象和思考，盡量把條件轉(zhuǎn)化得少一點，把結(jié)論轉(zhuǎn)變得多一點，把問題和結(jié)論再進一步演變和推廣。這樣，在數(shù)學(xué)世界里，我們必感到奧妙無比、樂趣無窮。