平面向量在解題中的運用

摘 要: 本文主要講述了運用平面向量來解決部分代數、幾何問題，和傳統方法比較具有簡便性。

關鍵詞: 平面向量 解題 步驟

平面向量是數學中的一個重要概念，它是溝通代數、三角、幾何等內容的橋梁之一。利用向量解決一些數學問題，將大大簡化解題的步驟，使學生多掌握一種行之有效的數學工具。向量是聯系代數與幾何關系，它可以使圖形量化，使圖形間關系代數化，使我們從復雜的圖形分析中解脫出來，只需要研究這些圖形間存在的向量關系，就可以得出精確的最終結論。

運用平面向量解題一般分下面幾個步驟:第一步，構設一些基本向量;第二步，明確需要解決的問題和用相應向量形式表示;第三步，進行必要的向量運算，從而得到問題的結果。下面結合具體的問題，看看在實際運用中用向量解題能帶來怎樣的便利。

問題一:求證:xx+yy≤·。

證明:設=(x，y)，=(x，y)，，的夾角為θ，

∵·=||||cosθ=·cosθ，cosθ∈[0，1]，

∴·≤·，

∴xx+yy≤·。

用向量來證明這個問題真的很簡單，如果換代數方法有一定難度。

問題二:已知，如圖四邊形ABCD的兩邊AD，BC的三等分點分別為E，F和G，H;AB，EG，FH，DC的中點分別為P，Q，R，S。

求證:P，Q，R，S共線，且PQ=QR=RS。

證明:設=，=，那么==，==。

∵=++，且=++，又∵=-，=-，∴2=+，=。

同理可得:=，=，

∴==。

∴P，Q，R，S共線，且PQ=QR=RS。

問題三:已知?荀ABCD，E、F分別是AD，DC邊上的中點，連接EB，FB，分別與對角線AC交與點M，N，試猜想AM，MN，NC之間的關系，并加以證明。

解:設=，=，則=+。

∵與共線，設=n(+)，

∵與共線，設=m=m(+)=m(-)。

又∵=+，

∴n(+)=+m(-)，

∴(n-m)+(n+)=。

由于，不共線，那么n-m=0n+=0，

∴n=m=，

∴=。

同理，=。

∴=，

∴AM=MN=NC。

問題四:已知以△ABC兩邊AB，AC為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M為BC的中點;求證:AM⊥EF。

幾何方法證明:延長MA交EF于點H，

再延長AM到點N，使得AM=MN，最后連接NC。

∵M為BC的中點，∴BM=MC。

又∵AM=MN，∠AMB=∠NMC，

∴△AMB≌△NMC，∴AB=CN。

∵ACDE和ABGF為正方形，

∴AB=AF，AE=AC，∴AF=CN。

∵AM=MN，BM=MC，

∴四邊形ABNC為平行四邊形，∴AB∥CN，∴∠BAC+∠ACN=π。

∵∠EAF+∠FAB+∠BAC+∠CAE=2π，∠FAB=∠CAE=，

∴∠FAE+∠BAC=π，∴∠ACN=∠EAF，∴△ACN≌△EAF，∴∠FEA=∠NAC。

∵∠NAC+∠CAE+∠EAH=π，

∴∠CAE=，∴∠NAC+∠EAH=，∴∠FEA+∠EAH=，∴∠AHE=，∴AM⊥EF。

分析:總的看來用全等三角形來證明這個問題比較復雜，輔助線和步驟都比較繁瑣，那我們試用平面向量來證明。

要證明AM⊥EF，只需要證明·=0。

證明:∵M為BC的中點，

∴2=+，=(+)。

∵=+，

∴·=(+)(+)=(·+·+·+·)。

∵ACDE和ABGF為正方形，

∴AB⊥AF，AC⊥EA，∴·=0，·=0。

∵∠BAE=∠BAF+∠FAE=+∠FAE，∠FAC=∠CAE+∠EAF=+∠EAF，

∴∠EAB=∠CAF。

∵·=||||cos(∧)=||||cos(π-∠EAB)=-||||cos∠EAB，

又∵·=|||AF|cos(∧)=||||cos∠CAF，

∴·+·=-||||cos∠EAB+||||cos∠CAF=0。

∴·=0。∴AM⊥EF。

通過上面四個題目，我們可以看出運用平面向量來解決一些問題有著明顯的優勢，有些題目連輔助線都可以省略，但是在具體問題中架設合適的向量框架，運用向量計算來解決才是關鍵。

參考文獻:

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