“黃金代換”及其應用

〔關鍵詞〕 物理教學;天體運動;黃金代換;應用

〔中圖分類號〕 G633.7〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)05(A)—0055—01

在不考慮天體自轉的前提下，物體在天體表面附近的重力大小可以認為等于天體對物體的萬有引力大小.設天體表面一個物體質量為m，天體質量為M，g為天體表面的重力加速度，R為天體半徑.則■=mg

消去等式兩邊的m得到:GM=gR2

該式稱為“黃金代換”.其中G為萬有引力常量，R為天體半徑，M為天體質量，g為天體表面的重力加速度.

在一般討論和計算時可認為，在地球表面上的物體受到的重力和地球對它的萬有引力差別很小，由于在解答有關天體運動問題時使用率相當高，人們習慣稱之為黃金代換式.本文簡單介紹一下它的有關應用.

一、推導第一宇宙速度

設質量為m的人造地球衛星在近地表面軌道繞行的速度為V，則該衛星靠地球對它的引力提供其圓周運動的向心力，若設地球質量為M，半徑為R，萬有引力恒量為G，則有m■=■，將黃金代換式g=■代入上式中可得V=■，它是地球表面衛星的最小發射速度和最大環繞速度.

天體運動本身比較復雜，中學物理只要求學生對天體運動有一定的認識，能夠定量計算理想狀態下的天體運動.因此，黃金代換在理想狀態下的天體運動計算就顯得很珍貴，可以在有限的已知量中計算看似毫無關系的其他物理量.

二、確定其他天體的半徑

例1:據報道，最近在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量約為地球質量的6.4倍，一個在地球表面重量為600N的人在這個行星表面的重量將變為960N.由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為()

A. 0.5 B. 2C. 3.2D. 4

解析:由題意知g'=1.6g，由黃金代換g=■得■=■，解得R'=2R，故選B.

三、估算人造衛星的最小周期

設人造衛星在半徑為r的軌道上運行的周期為T，則有G■=mr(■)2，得T=2?仔■，將黃金代換式g=■，有R=r代入其中得最小周期Tmin=2?仔■=5078s.

四、確定衛星的高度

例2:有人利用安裝在氣球載人艙內的單擺來確定氣球的高度.已知該單擺在海平面上的周期為T0，當氣球停在某一高度時，測得該單擺的周期為T，若把地球視為質量均勻分布的半徑為R的球體，則氣球此時離海平面的高度h= .

解析:設離海平面h高處的重力加速度為g'，由黃金代換g=■得gR'=g'(R+h)2.又單擺的周期為T=2?仔■，同一單擺在不同高度處有T2g'=T02g，整理得■=■，即h=■.

五、確定同步衛星的高度

地球同步衛星相對于地面是靜止的，與地球自轉具有相同的周期.由于它是靠萬有引力提供其圓周運動的向心力，故只能定位于赤道上空某一特定高度處.若設其距地心的高度為r，地球自轉角速度為ω，則有G■=mrω2，將黃金代換式g=■有ω=■代入其中得r=■，代入相關數據得r=4.24×107m，于是衛星距地的高度為h=r-R=3.6×107m.

六、研究衛星的發射和回收

例3:實踐證明飛船的運動也遵從開普勒三定律，實施“神舟六號”飛船的主操作手盧志峰完成操作后，飛船速度降低并轉移到與地球表面相切的橢圓軌道運動.40多分鐘后，飛船成功落地.設飛船先在半徑為r的圓軌道繞地運動，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，若不計空氣阻力，試給出飛船在返回時運行時間的表達式?

解析:飛船進入大氣層后，在不考慮空氣阻力的情況下沿橢圓軌道著陸.設飛船在橢圓軌道上的運行周期為T0，運用開普勒第三定律得

■=■.

萬有引力提供向心力G■=mr■，而飛船在轉移軌道只運動了上圖中實線這半個周期，因此t=■，再聯立黃金代換式g=G■可得t=■■.

天體運動是中學物理綜合性很強的一部分內容，綜合了力學、運動學的相關知識，如果考慮到地磁場的影響，那就還有電磁學的內容.由于天體運動只能通過模擬，或者展開想象來顯現物理過程和現象，這對中學生已經就是一個難點。掌握天體運動，對其他物理知識也能起到很好的鞏固.q