緊扣教材 拓展思維

〔關鍵詞〕 立體幾何;異面直線;射影;所成角

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)05(A)—0048—01

異面直線所成角的計算是立體幾何的重點內容，也是高考的熱點問題.求異面直線所成的角一般是先通過平移轉化法、補形法作出或找出異面直線所成的角，然后通過解三角形求出角的大小.本文通過對課本中一個結論的探究，得出求異面直線所成的角的一種方法，該方法簡單易記且便于使用.

人教版高中《數學》第二冊(下)第43頁有如下結論:如圖1，AO和平面?琢所成的角是θ1，CO在平面?琢內，CO和AO在平面?琢內的射影BO所成的角是θ2，設AO與CO所成的角∠AOC=θ，則有cosθ=cosθ1·cosθ2(證明略).

我們把該結論加以引申:如圖1，若MN?奐?琢，且MN∥CO，則MN與AO異面，則異面直線MN與AO所成的角等于CO與AO所成的角θ，MN與BO所成的角等于CO與BO所成的角θ2，只要知道了AO與?琢所成的角θ1，就可以用公式cosθ=cosθ1·cosθ2求出異面直線MN與AO所成的角θ.

由此可得結論:如圖2，已知a，c是兩條異面直線，直線c在平面?琢內，a在平面?琢內的射影是b，若a與平面?琢所成的角為θ1，b與c所成的角是θ2，兩條異面直線a與c所成的角為θ，則cosθ=cosθ1·cosθ2.

使用該結論時，首先要確定θ1和θ2，而它們都與射影b有關，因此，如何恰當地選擇平面?琢，以便于作出a在平面?琢內的射影b就成為本結論的關鍵.下面就本結論的應用加以例析:

例1:(2007全國Ⅰ，7)如圖3，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成的角的余弦值為( ).

A. ■B. ■C. ■D. ■

解析:由已知，選平面A1ADD1為公式中的?琢，顯然A1B，A1A，AD1分別為公式中的a，b，c，可得cosθ1=cos∠AA1B=■，cosθ2=cos∠A1AD=■，則cosθ=cosθ1·cosθ2=■，故選D.

例2:(2005天津，理12，文13)如圖4，PA⊥平面ABC，且∠ACB=90°，PA=AC=BC=a，則異面直線PB與AC所成的角的正切值等于.

解析:由已知，選平面ABC為公式中的?琢，顯然PB，AB，AC分別為公式中的a，b，c，可得cosθ1=cos∠PBA=■，cosθ2=cos∠BAC=■，由cosθ=cosθ1·cosθ2=■進一步求得tanθ=■.所以PB與AC所成角的正切值為■.

例3:(2007上海，文7)如圖5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的大小是(用反三角函數表示).

解析:由已知，選平面ABC為公式中的?琢，顯然A1B，AB，AC分別為公式中的a，b，c，可得cosθ1=cos∠A1BA=■，cosθ2=cos∠BAC=■，則cosθ=cosθ1·cosθ2=■，所以A1B與AC所成角為arccos■.

例4:(2004天津，6)如圖6，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于( ).

A. ■B. ■

C. ■D. ■

解析:由已知，選平面A1ADD1為公式中的?琢，設M為D1D的中點，顯然OE，FM，FD1分別為公式中的a，b，c，可得cosθ1=■，cosθ2=■，則cosθ=cosθ1·cosθ2=■，故選B.

公式cosθ=cosθ1·cosθ2巧妙地把求異面直線所成角的問題轉化成了求線面角及同一平面內的線線角的問題，不必添加過多的輔助線，降低了問題的難度，提高了運算的準確率.