論中學數學中構造性思想的應用

摘要:主要闡釋了在數學中應用構造性思想如何解題。應當視問題的不同而選擇最佳的解題方法，從而達到最簡潔快速的解題目的，就如何根據問題不同而選擇相應方法作了示范。

關鍵詞:創新;構造;應用

中圖分類號:G642文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)30-0322-02

眾所周知，構造法是以數學中的基本思想為依據，經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型，從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有固定模式可以套用，視問題的不同和特點采取相應辦法解決。其基本方法是借用一類問題的性質，來研究另一類問題的解法。下面我們通過舉例來探討構造法在數學中的應用。

一、構造函數法

函數在中學數學中占有相當的內容，我們對于函數的性質也比較熟悉了，選擇用熟爛于心的方法來解決棘手的問題，實乃上上之策。

例1 ，已知:方程x2-2x+3a-1=0有兩個實數根，其中有一根大于1，而另一根小于1，求:實數a的取值范圍。

解:構造函數f(x)=x2-2x+3a-1，則由題意知，滿足條件只須下列條件成立:

a>0f(1)<0或a<0f(1)>0

解之得:0

析:其實這是一道很簡單的一元二次方程的應用推廣，解題方法有許多種，但這里通過構造函數的思想，得出答案，簡單明了、易懂，讓人一目了然。

二、構造方程法

構造方程解題可以歸結為三個步驟:(1)將所面臨的問題轉化為方程問題;(2)解這個方程(組)或討論這個方程的有關性質(常用判別式與韋達定理)，得出相應的結論;(3)將方程(組)的相應結論再返回為原問題的結論。

在運用方程觀點解題時應該注意到:(1)公式可以理解為方程(或等量關系)。于是，恒等式證明可以理解為方程變形，求值問題更可以看成解方程。(2)函數的許多性質都可以歸結為方程的研究。(3)不等式的證明與求解都和方程有關。

例2，如果實數a，b，c滿足++=

那么，對任何奇數n，有:++=

證明:由已知條件，有:=

設a+b+c=p，bc+ac+ab=q，則abc=pq

現以a，b，c為根作方程:(x-a)(x-b)(x-c)=0

即:x3-(a+b+c)x2+(bc+ac+ab)-abc=0

x3-px2+qx-pq=0

得:(x-p)(x2+q)=0

x1=p，x2，3=±

可見，實數a，b，c中，有一個為p，另兩個成相反數，或a=-b或b=-c或c=-a

均有:++=

三、構造復數法

對于問題a，若能構造出于之對應的模型b，使問題a化歸為b中相應的問題，從而獲得問題a的解決。

例3 ，求證+≥17

分析與解答:

根據左邊的特點聯想到用配方法轉化為+

進而構造復數模型，設z1=(x-2)+i，z2=(1-x)+3i

因為|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|1+4i|=17

所以+≥17

四、構造二元對稱代換

根據問題的特征，構造新的變量或式子來代替原變量或式子。

例4，求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值(1991年全國高中聯賽題)。

導析:看到此題，學生自然會聯想到課本中的例題:

求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。

他們會通過降次、和差化積來解決。這時，我們可引導學生觀察，揭示其本質。注意到sin40°=cos50°，sin80°=cos10°，且問題關于cos10°、cos50°是對稱的，所以可通過構造二元對稱代換來解決。

令cos10°=a+b，cos50°=a-b

則a=1/2(cos10°+cos50°)=cos30°cos20°=(/2)cos20°

b=(1/2)(cos50°-cos10°)=sin30°sin20°=(1/2)sin20°

原式=cos210°+cos250°-cos50°cos10°=(a+b)2+(a-b)2-(a-b)(a+b)=a23b2

=((/2)cos20°)2+((1/2)sin20°)2=3/4

五、構造解析法

對于已知條件進行分析，或者變形后觀察，發現與解析幾何中的某個標準方程相似，用點，坐標，曲線方程的有關性質來尋找到條件與結論間的關系。

例5，已知+=1，求證+=1

導析:初看關系式均很整齊，但卻很難找到條件與結論直接的邏輯關系。這時，教師應引導學生對條件結構的進一步認識，可發現其與橢圓的標準方程很相似，這樣可構造橢圓+=1，顯然P1=(cos2α，sin2α)，P2=(cos2β，sin2β)兩點都在橢圓上。又過P2的橢圓的切線方程是x+y=1。而點P1也在切線x+y=1上，由切點的唯一性知P1和P2重合。

故cos2α=cos2β，sin2α=sin2β

即+=cos2β=sin2β=1

說明:上面通過構造解析模型，利用點的坐標、曲線方程的有關性質巧妙地尋找到條件與結論間的邏輯關系。

六、結論

結合現行高中數學教材的數學知識及高考和數學競賽要求，收集設計一些關于構造思想在解題中的各種構造方式如下:代數中的構造法有:構造表達式及公式:構造復數、三角式、對偶式、等比中項、二項式、組合數、代數恒等式、遞推式、輔助式、常元、同余式、差式、可加式等等;構造方程:常見的有構造一元一次方程、一元二次方程;構造函數:構造一次函數、二次函數、單調函數、奇偶函數;構造不等式:構造均值不等式求最值;構造數列;構造命題;構造特例;構造概率模型:構造抽屜;構造向量;構造圖形:三角形、矩形;構造算法。

幾何中的構造法有:構造立體幾何模型:構造輔助線、輔助平面、割補法、正方體、長方體、異面直線所成的角、三棱錐;構造解析幾何模型:構造坐標系、點(中點、分點或定比分點)、單位圓、斜率、直線、線段、拋物線、平面區域、橢圓、兩點間距離、點到直線距離。

以上只是列舉了構造思想在中學數學解題中的一些表現形式，其中每一種表現形式又含有豐富的內涵，還可以繼續深入探討，例如構造函數可以解決哪些問題，證明不等式的問題又可以有多少種不同的構造方法等。

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[6]網友投稿.用構造法解題對學生思維能力的培養[EB/OL].http://www.studa.net，2004-10-07.[責任編輯 魏杰]