淺析求直線的斜率

摘要:本文著重介紹了求平面直線斜率的方法，結合具體例題講解常見錯誤，并提供可避免錯誤的處理辦法。

關鍵詞:解析幾何;直線斜率;方法

在平面解析幾何中，求直線的斜率是一個重要的問題，而我們往往感到棘手甚至求錯，本文介紹了一些常用方法。

一、 直接用公式求解

如已知平面內兩點坐標，可以用坐標差比值，傾斜角計算其正切值，還可以用到角、夾角公式等。

例1直線過點，其傾斜角比直線的傾斜角大，求直線的斜率。

方法1:因為α=β+，

所以k=tan=tan(β+)===-。 方法2:到角公式由tan=得:1=(k2為所求斜率，k1為4x-y+5=0的斜率)?圯=1?圯k2=-。點評:這兩種方法直接利用公式，傾斜角正切等于斜率及到角公式。但需注意的是利用公式要求斜率存在，否則利用錯誤。

二、 利用直線特殊位置關系求解

斜率存在，若兩條直線平行，則斜率相等。若兩條直線垂直，則斜率乘積為-1。兩直線夾角為特殊角，利用夾角公式、反射光線，關于點對稱等特殊位置，利用數形結合思想，找到斜率關系式。

例2已知直線l過點p(-2，3)，其傾斜角α的余弦值是方程3x2+8x-3=0的根，求該直線的方程。

解:方程3x2+8x-3=0的根為，-3。

因為-1≤cosα≤1 ，所以cos α=，

所以α為銳角，所以tan2α=-1=8。

所以k=tanα=2。故所求直線方程為y-3=2(x+2)，即2-y+3+2=0。

點評:本題關鍵在求出直線的斜率，利用點斜式求直線方程，而在求斜率利用到了三角函數恒等變換。

三、 利用向量知識求解

一條平面直線，我們可以找出其方向向量，利用向量知識求解斜率。如直線方程Ax+By+C=0，則方向向量為(-B，A)。l1⊥l2?圳⊥，l1∥l2?圳∥，有時還用到cos(^)=公式。

例3已知l1:2x+my-2=0，l2:mx+2y-1=0且l1⊥l2，則l1，l2，的斜率分別是多少?

解:l1，與l2的方向向量分別是=(-m，2)，=(-2，m)。

因為l1⊥l2所以⊥，

故(-m)(-2)+2m=0，

所以m=0，

所以k1不存在，k2=0。

點評:若我們利用k1·k2=-1?圯-×(-)=-1?圯m無解，從而斜率沒法求解，得到錯誤的結論，原因是斜率可能不存在，利用公式前提是斜率存在。

事實上，例1中我們可以設所求直線l為y-3=k(x+2)即kx-y+2k+3=0，方向向量=(1，k)，直線4x-y+5=0方向向量為=(1，4)。則cos==?圯15k2+16k-15=0?圯k1=(舍去)k2=-(k1=對應的傾斜角小于直線4x-y+5=0的傾斜角，故舍去)

點評:我們可以看出當縱坐標為-2時，切線斜率不存在。

總之，在求直線的斜率時，我們要注意斜率可能不存在的情況，如利用公式、設直線方程時前提是斜率存在，而向量求解、導數求解可以避免錯誤出現。當然我們還有其他方法，如利用Excel求解、計算機軟件Origin求解等。

參考文獻:

[1]吳茂慶.數學[M].南京:江蘇教育出版社，2006.

[2]王文秀.數學復習用書[M].北京:原子能出版社，2008.

(睢寧縣職業教育中心)