淺談二次函數的應用

一、 進一步深入理解函數概念

高中階段是在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深地認識函數的概念。

二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)，這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的像，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題:

例1已知f(x)= 2x2+x+3，求f(x+1)

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

例2設f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)

這個問題理解為，已知對應法，則f下定義域中的元素x+1的像是x2-4x+1，求定義域中元素X的像，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法:

(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得

f(x)=x2-6x+6。

(2) 變量代換:它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1?！?t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6，從而f(x)= x2-6x+6。

二、 二次函數的單調性，最值與圖像

在高中階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間(-∞，-]及[-，+∞) 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數有關的一些函數單調性。

例3畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性。

(1)y=x2+2|x-1|-1。

(2)y=|x2-1|。

(3)= x2+2|x|-1。

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像。

例3:設f(x)=x2-2x-1在區間[t，t+1]上的最小值是g(t)，求g(t)并畫出 y=g(t)的圖像。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2。

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2。

當t>1時，g(t)=f(t)=t2-2t-1。

當t<0時，g(t)=f(t+1)=t2-2。

g(t)=t-2， (t<0)-2，(0≤t≤1)t-2t-1，(t>1)。

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函數的值域。

三、 二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維

例4設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足0

(1)當X∈(0，x1)時，證明X

(2)設函數f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明x0< 。

解題思路:

本題要證明的是x

(1)先證明x

因為00，又a>0，因此f(x) >0，即f(x)-x>0，至此，證得x

根據韋達定理，有x1x2=，∵ 0

c=ax1x2f(0)，所以當x∈(0，x1)時f(x)

即x

(2)∵f(x)=ax2+bx+c=a(x+-)2+(c-)，(a>0)

函數f(x)的圖像的對稱軸為直線x=- ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-，因為x1，x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=

-，∵x2-<0，

∴x0=-=(x1+x2-)<，即x0=。

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題。

(浦江縣浦江中學)